Question

6．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，∠CDB=45°．过点C作CE∥AB交DB的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若cos∠CED=$\frac{1}{3}$，BD=6，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）要证CE是⊙O的切线，只要证明∠OCE=90°，根据，∠CDB=45°，CE∥AB可以求得∠OCE=90°，从而可以解答本题；
（2）要求⊙O的直径，根据CE∥AB，cos∠CED=$\frac{1}{3}$，BD=6，可以求得AB的长，本题得以解决．

解答 （1）证明：连接BC、CO，如右图所示，
∵AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，∠CDB=45°，
∴∠COB=2∠CDB=90°，
∵CE∥AB，
∴∠COB+∠OCE=180°，
∴∠OCE=90°，
即CE是⊙O的切线；
（2）连接AD，如右上图所示，
∵CE∥AB，
∴∠CED=∠ABD，
∵cos∠CED=$\frac{1}{3}$，BD=6，AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，cos∠ABD=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{3}$，
∴AB=18，
即⊙O的直径是18．

点评 本题考查切线的判定、圆周角定理、解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．