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【题目】(本题12分)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.

(1)如图1,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线.

(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且AD=CD,求∠ACB的度数.

(3)如图2,△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.

【答案】(1)答案见解析;(2)96°或114°;(3)

【解析】试题分析:(1)根据完美分割线的定义只要证明①ABC不是等腰三角形,②ACD是等腰三角形,③BDCBCA即可.

2)分三种情形讨论即可如图2,当AD=CD时,如图3中,当AD=AC时,如图4中,当AC=CD时,分别求出ACB即可.

3)设BD=x,利用BCDBAC,得,列出方程即可解决问题.

1)如图1中,∵∠A=40°B=60°∴∠ACB=80°ABC不是等腰三角形,CD平分ACB∴∠ACD=BCD=ACB=40°∴∠ACD=A=40°ACD为等腰三角形,∵∠DCB=A=40°CBD=ABCBCDBACCDABC的完美分割线.

2AD=CD时,如图2ACD=∠A=45°BDCBCA∴∠BCD=∠A=48°∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°

AD=AC时,如图3中,ACD=∠ADC=180°-48°÷2=66°BDCBCA∴∠BCD=∠A=48°∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°

AC=CD时,如图4中,ADC=∠A=48°BDCBCA∴∠BCD=∠A=48°∵∠ADCBCD,矛盾,舍弃,∴∠ACB=96°114°

3)由已知AC=AD=2BCDBAC BD=x),x0x=BCDBAC=CD=×2=

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