【题目】(本题12分)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图1,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线.
(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且AD=CD,求∠ACB的度数.
(3)如图2,△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.
【答案】(1)答案见解析;(2)96°或114°;(3)
【解析】试题分析:(1)根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形,②△ACD是等腰三角形,③△BDC∽△BCA即可.
(2)分三种情形讨论即可①如图2,当AD=CD时,②如图3中,当AD=AC时,③如图4中,当AC=CD时,分别求出∠ACB即可.
(3)设BD=x,利用△BCD∽△BAC,得,列出方程即可解决问题.
(1)如图1中,∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,∴△ABC不是等腰三角形,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°,∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD为等腰三角形,∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,∴△BCD∽△BAC,∴CD是△ABC的完美分割线.
(2)①当AD=CD时,如图2,∠ACD=∠A=45°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.
②当AD=AC时,如图3中,∠ACD=∠ADC=(180°-48°)÷2=66°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.
③当AC=CD时,如图4中,∠ADC=∠A=48°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∵∠ADC>∠BCD,矛盾,舍弃,∴∠ACB=96°或114°.
(3)由已知AC=AD=2,∵△BCD∽△BAC,∴ 设BD=x,∴),∵x>0,∴x=,∵△BCD∽△BAC,∴=,∴CD=×2=.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】2018南1月24日是腊八节,这天哈尔滨市的最低气温是﹣35℃,最高气温是﹣24℃,这一天哈尔滨市的温差为( )
A. 9℃ B. 10℃ C. 11℃ D. 59℃
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(本题10分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交AB于点D,交BC于点E.
(1)求证:BE=CE;
(2)若BD=2,BE=3,求AC的长.
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