Question

【题目】如图，在中，，，．点O是的中点，过点O的直线与从重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交于点D，过点Ｃ作交直线于点Ｅ，设直线的旋转角为．

（1）当四边形是等腰梯形时，则=_______，此时________；

（2）当四边形是直角梯形时，则=_________，此时_________；

（3）当为几度时，判断四边形是否为菱形，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1），1；（2），；（3），理由详见解析

【解析】

（1）根据旋转的性质和等腰梯形的性质，由，可得当时，四边形EDBC是等腰梯形，即可求得的度数，然后利用含30°角的直角三角形的性质与等腰三角形三线合一的性质求得AD的长；

（2）由，可得当时，四边形EDBC是直角梯形，即可求得的度数，然后利用含30°角的直角三角形的性质与勾股定理求得AD的长；

（3）根据，先证明四边形是平行四边形，再利用在Rt△ABC中，，，求得AB、AC、AO的长度，在Rt△AOD中，，求得BD的长度，比较得，可证得四边形是菱形．

（1）∵

∴当时，四边形EDBC是等腰梯形

∵

∴

即当时，四边形EDBC是等腰梯形

在Rt△ABC中，

∴

∴

∵O是AC的中点

∴

∵

∴；

（2）∵

∴当时，四边形EDBC是直角梯形

∵

∴

∴当时，四边形EDBC是直角梯形

在Rt△ABC中，

∴

∴

∵O是AC的中点

∴

在Rt△AOD中，

∴；

（3）当时，四边形是菱形

∵

∴

∵

∴四边形是平行四边形

在Rt△ABC中，，

∴

∴

∴

在Rt△AOD中，

∴

∴

∴

∵四边形是平行四边形

∴四边形是菱形．