Question

6．在等腰△ABC中，AB=AC，点D在AC上一点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接CF．
（1）如图1，请找出和∠CFB相等的角，并证明；
（2）如图，当∠ABC=60°，AF=m，EF=n时，求FB的长（用含m，n的式子表示）；
（3）如图，当AE∥BC，且∠ABC=45°时，探索BD和EF的数量关系．

Answer 1

分析 （1）证△EAF≌△CAF，推出EF=CF，∠E=∠ACF，根据等腰三角形性质推出∠E=∠ABF，即可得出答案；
（2）在FB上截取BM=CF，连接AM，证△ABM≌△ACF，推出EF=FC=BM，AF=AM，推出△AMF是等边三角形，推出MF=AF，即可得出答案；
（3）连接CF，延长BA、CF交N，证△BFC≌△BFN，推出CN=2CF=2EF，证△BAD≌△CAN，推出BD=CN，即可得出答案．

解答 证明：（1）∠CFB=∠CAB，
∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF，
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC，
在△ACF和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAF=∠CAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E=∠ACF，
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF，
∵∠ADB=∠CDF，
∴∠CFB=∠CAB；

（2）如图2，∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，
在FB上截取BM=CF，连接AM，
在△ABM和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABM=∠ACF}\\{BM=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF，
∴△AMF为等边三角形，
∴AF=AM=MF，
∴AF+EF=BM+MF=FB，
∵AF=m，EF=n，
即FB=m+n；

（3）如图3，延长BA、CF交于N，
∵AE∥BC，
∴∠E=∠EBC，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
∴∠ABF=∠CBF，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=∠CBF=22.5°，∠ACB=45°，∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴∠ACF=∠ABF=22.5°，
∴∠BFC=180°-22.5°-45°-22.5°=90°，
∴∠BFN=∠BFC=90°，
在△BFN和△BFC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠NBF=∠CBF}\\{BF=BF}\\{∠BFN=∠BFC}\end{array}\right.$
∴△BFN≌△BFC（ASA），
∴CF=FN，
即CN=2CF=2EF，
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC=∠BAD=90°，
在△BAD和△CAN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠ACN}\\{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAN}\end{array}\right.$
∴△BAD≌△CAN（ASA），
由第二问得CF=EF，
∴BD=CN=2CF=2EF．

点评 本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度偏大．