Question

11．在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，取一块含45°角的直角三角形纸板，将45°角的顶点放在斜边BC的中点O处（如图①），顺时针方向旋转三角尺，使45°角的两边与AB、AC分别交于点E、F（如图②）．设BE=x，CF=y，求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得到BC=2$\sqrt{2}$，∠B=∠C=45°，由点O是BC 的中点，得到BO=CO=$\sqrt{2}$根据三角形的内角和和平角的定义得到∠BEO=∠COF，证得△BOE∽△COF，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：∵AB=AC=2，∠BAC=90°，
∴BC=2$\sqrt{2}$，∠B=∠C=45°，
∵点O是BC 的中点，
∴BO=CO=$\sqrt{2}$，∵∠EOF=45°，
∴∠BEO+∠BOE=135°，∠BOE+∠COF=135°，
∴∠BEO=∠COF，
∴△BOE∽△COF，
∴$\frac{BE}{OC}=\frac{BO}{CF}$，
即$\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{y}$，
∴xy=2，
∴y与x的函数表达式：y=$\frac{2}{x}$  （0＜x≤2）．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．