Question

5．已知，在△ABC中，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点O，
（1）若∠A=70°，则∠BOC=35°；
（2）若∠A=80°，则∠BOC=40°；
（3）试探索：∠BOC和∠A的关系，证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD，再根据角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCD，然后整理得到∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A，代入数据进行计算即可得解；
（2）代入∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A求出即可；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD，再根据角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCD，然后整理得到∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A，代入数据进行计算即可得解．

解答 解：（1）由三角形外角性质，∠ACD=∠A+∠ABC，∠OCD=∠OBC+∠BOC，
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠BOC，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A=70°，
∴∠BOC=35°，
故答案为：35°；

（2）由（1）知：∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A=80°，
∴∠BOC=40°，
故答案为：40°；

（3）∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A；
理由是：由三角形外角性质，∠ACD=∠A+∠ABC，∠OCD=∠OBC+∠BOC，
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠BOC，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．