如图1.在平面直角坐标系中.已知点A.B的坐标分别为(1)求直线AB的解析式,(2)如图2.点C是点B关于y轴的对称点.点D是AB的中点.点P为y轴上自原点向正半轴方向运动的一动点.运动速度为2个单位长度/s.设点P运动的时间为ts.点Q为射线BA上一点.当t=5时.$\frac{{S} {△PQO}}{{S} {△CDB}}$=$\frac{5}{3}$.求点Q的坐标,的条件下.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为（0，3），（3，0）
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图2，点C是点B关于y轴的对称点，点D是AB的中点，点P为y轴上自原点向正半轴方向运动的一动点，运动速度为2个单位长度/s，设点P运动的时间为ts，点Q为射线BA上一点，当t=5时，$\frac{{S}_{△PQO}}{{S}_{△CDB}}$=$\frac{5}{3}$，求点Q的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，当△PDC为等腰直角三角形时，求t的值．

分析（1）根据待定系数法可以确定直线AB的解析式．
（2）先求出点D的坐标，设Q（m，n），根据三角形的面积公式代入$\frac{{S}_{△PQO}}{{S}_{△CDB}}$=$\frac{5}{3}$，即可解决问题．
（3）作DM⊥OB，DN⊥OP，利用△DNP≌△DMC，求出PN即可．

解答解：（1）设直线AB为y=kx+b，
把A（0，3）、B（3，0）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x+3．
（2）如图1，设Q（m，n）
∵P（0，10），A（0，3），B（3，0），AD=DB
∴D（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∵$\frac{{S}_{△PQO}}{{S}_{△CDB}}=\frac{5}{3}$
∴$\frac{\frac{1}{2}×10×|m|}{\frac{1}{2}×6×\frac{3}{2}}=\frac{5}{3}$，
∴m=$±\frac{3}{2}$，
∵点Q在直线AB上，∴m=$\frac{3}{2}$时，n=$\frac{3}{2}$；m=-$\frac{3}{2}$时，n=$\frac{9}{2}$，
∴Q（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）或（-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$）．
（3）如图2，作DM⊥BO，DN⊥OP垂足分别为M，N．
∵△PDC是等腰直角三角形，
∴DP=DC，
∵点D坐标（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴DM=DN=$\frac{3}{2}$，
在RT△DNP和RT△DMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DP=DC}\\{DN=DM}\end{array}\right.$，
∴RT△DNP≌RT△DMC，
∴PN=CM，
∵CM=$\frac{9}{2}$，ON=$\frac{3}{2}$，
PN=$\frac{9}{2}$，PO=6，
∴t=$\frac{6}{2}$=3秒

点评本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积公式、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、点与坐标的关系等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解决第3问的关键．

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