Question

5．如图，抛物线y=ax²+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，⊙O₁为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求⊙O₁的半径．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）如图所示，由圆周角定理，确定△BO₁C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+3=0}\\{a-b+3=0}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=4，
∴抛物线的解析式为：y=x²+4x+3；

（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x²+4x+3，
∵令x=0，得y=3，
∴C（0，3），
∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=$\sqrt{{1}^{1}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
如图1所示，连接O₁B、O₁B，
由圆周角定理得：∠BO₁C=2∠BAC=90°，
∴△BO₁C为等腰直角三角形，
∴⊙O₁的半径O₁B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\sqrt{5}$．

点评 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、圆的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、正确的作出辅助线是解题的关键．