Question

20．已知直线l₁：y=-$\frac{3}{4}x+3$与直线l₂：y=kx-$\frac{16}{3}$交于x轴上的同一个点A，直线l₁与y轴交于点B，直线l₂与y轴的交点为C．
（1）求k的值，并作出直线l₂图象；
（2）若点P是线段AB上的点且△ACP的面积为15，求点P的坐标；
（3）若点M、N分别是x轴上、线段AC上的动点（点M不与点O重合），是否存在点M、N，使得△ANM≌△AOC？若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）对于直线l₁，令y=0求出x的值，确定出A坐标，代入直线l₂求出k的值，作出直线l₂图象即可；
（2）设P（a，b），△ACP面积=△ABC面积-△BPC面积，根据已知三角形ACP面积求出a的值，进而求出b的值，确定出P坐标即可；
（3）如图2，作ND⊥x轴于D，利用勾股定理求出AC的长，由△ANM≌△AOC，得到对应边相等，表示出AM，AN，MN，确定出△AMN为直角三角形，利用面积法求出ND的长，确定出N纵坐标，进而求出横坐标，确定出N坐标即可．

解答 解：（1）∵直线l₁：y=-$\frac{3}{4}$x+3与x轴交于点A，
∴令y=0时，x=4，即A（4，0），
将A（4，0）代入直线l₂：y=kx-$\frac{16}{3}$，得k=$\frac{4}{3}$，
直线l₂图象如图1所示；

（2）设P（a，b），
根据题意得：S_△ACP=S_△ABC-S_△PBC=$\frac{1}{2}$×（3+$\frac{16}{3}$）×4-$\frac{1}{2}$×（3+$\frac{16}{3}$）a=15，
解得：a=$\frac{2}{5}$，
将P（$\frac{2}{5}$，b）代入直线l₁得：b=$\frac{2}{5}$×（-$\frac{3}{4}$）+3=-$\frac{3}{10}$+3=$\frac{27}{10}$，
∴点P的坐标（$\frac{2}{5}$，$\frac{27}{10}$）；
（3）如图2，作ND⊥x轴于D，

∵AC=$\sqrt{{4}^{2}+（{\frac{16}{3}）}^{2}}$=$\frac{20}{3}$，△ANM≌△AOC，
∴AM=AC=$\frac{20}{3}$，AN=AO=4，MN=OC=$\frac{16}{3}$，∠ANM=∠AOC=90°，
∵S_△AMN=$\frac{1}{2}$AM•ND=$\frac{1}{2}$AN•MN，
∴ND=$\frac{AN•MN}{AM}$=$\frac{4×\frac{16}{3}}{\frac{20}{3}}$=$\frac{16}{5}$，
将N的纵坐标y=-$\frac{16}{5}$代入直线l₂得：x=$\frac{8}{5}$，
∴当N的纵坐标为（$\frac{8}{5}$，-$\frac{16}{5}$）时，△ANM≌△AOC．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的性质，勾股定理，三角形面积，以及坐标与图形性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．