(1)如图.∠AOB=45°.∠AOB内有一点P.且OP=5.在OA上有一点Q.OB上有一点R.要使△PQR周长最小.则最小周长是5$\sqrt{2}$中的条件“∠AOB=45°.OP=5 .并把“∠AOB内有一定点P 改为“∠AOB内有两定点P与G.同时∠POB=∠GOA 这时在射线OB上再取N点.使从N点到P点及G点的距离和为最小,在射线OA上再取M点.使从M点到P点及G点的距离� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．（1）如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一点P，且OP=5，在OA上有一点Q，OB上有一点R，要使△PQR周长最小，则最小周长是5$\sqrt{2}$（直接写出答案）
（2）如图．若去掉（1）中的条件“∠AOB=45°，OP=5”，并把“∠AOB内有一定点P”改为“∠AOB内有两定点P与G，同时∠POB=∠GOA”这时在射线OB上再取N点，使从N点到P点及G点的距离和为最小；在射线OA上再取M点，使从M点到P点及G点的距离和也为最小，请你说明：NP+NG=MP+MG的理由．

分析（1）作P关于OA，OB的对称点P′、P″．连接OP′、OP″、P′P″，P′P″与OA，OB的分别交于Q、R，此时△PQR的周长最短，最短的值是P′P″的长．根据对称的性质可以证得：△P′OP″是等腰直角三角形，据此即可求解．
（2）作G关于OA的对称点P′，连接PP′交OA于M，此时MG+MP最小，作P关于OB的对称点P″，连接QP″交OB于R，此时RQ+RP最小，然后证明△OP′P≌△OGP″得PP′=P″G，据此即可证明．

解答解：（1）图1中作P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OA、OB于Q、R，此时△PQR周长最小．
∵P′、P″关于OA对称，
∴OP=OP′，QP′=QP，∠P′OA=∠AOP，同理OP″=OP，RP″=RP，∠AOP=∠P″OB，
∴OP′=OP″=OP=5，
∵∠AOB=45°，
∴∠P′OP″=2∠AOB=90°，
∴P′P″=5$\sqrt{2}$
∴△PQR的最小值=PQ+QR+PR=QP′+QR+RP″=P′P″=5$\sqrt{2}$．
故答案为5$\sqrt{2}$．
（2）如图2，分别作G、P关于最小OA、OB的对称点P′、P″，连接PP′，GP″分别交OA、OB于M、N．连接OP′、OP″，此时MG+MP最小，NG+NP最小．
∵P′、G关于OA对称，
∴OP′=OG，P′M=GM，∠AOP′=′AOG，
∴MG+MP=MP′+MP=PP′，
同理OP=OP″，∠BOP=∠BOP″，NG+NP=GP″，
∴∠POP′=∠GOP″
在△POP′和△P″OG中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP′=OG}\\{∠P′OP=∠GOP″}\\{OP=OP″}\end{array}\right.$，
∴△OP′P≌△OGP″，
∴PP′=GP″，
∴NP+NG=MP+MG．

点评本题考查了对称的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是正确作出图形．

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