Question

【题目】如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②△APD一定是等腰三角形；③AP⊥EF；④PD=EF．其中正确结论的番号是（ ）

A.①③④B.①②③C.①③D.①②④

Answer 1

【答案】C

【解析】

过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE后即可证明①AP=EF；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得，即可得到答案．

证明：过P作PG⊥AB于点G，

∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，

∴GP=EP，

在△GPB中，∠GBP=45°，

∴∠GPB=45°，

∴GB=GP，

同理，得PE=BE，

∵AB=BC=GF，

∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，

∴AG=PF，

∴△AGP≌△FPE，

∴AP=EF；故①正确；

延长AP到EF上于一点H，

∴∠PAG=∠PFH，

∵∠APG=∠FPH，

∴∠PHF=∠PGA=90°，

即AP⊥EF；故③正确；

∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度，

∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，

除此之外，△APD不是等腰三角形，故②错误．

∵GF∥BC，

∴∠DPF=∠DBC，

又∵∠DPF=∠DBC=45°，

∴∠PDF=∠DPF=45°，

∴PF=EC，

∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
∴，故④错误．

∴正确的选项是①③；

故选：C．