Question

【题目】如图①，抛物线y＝x2﹣x﹣3交轴于A、B两点，交y轴于点C，点D为点C关于抛物线对称轴的对称点．

（1）若点P是抛物线上位于直线AD下方的一个动点，在y轴上有一动点E，x轴上有一动点F，当△PAD的面积最大时，一动点G从点P出发以每秒1个单位的速度沿P→E→F的路径运动到点F，再沿线段FB以每秒2个单位的速度运动到B点后停止，当点F的坐标是多少时，动点G的运动过程中所用的时间最少？

（2）如图②，在（1）问的条件下，将抛物线沿直线PB进行平移，点P、B平移后的对应点分别记为点P'、B'，请问在y轴上是否存在一动点Q，使得△P'QB'为等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点为F（，0）时，t最小；（2）存在，点Q的坐标为：（0，﹣）或（0，﹣）或（0，）或（0，﹣）

【解析】

（1）由题可求出点A、B、C、D，的坐标，点A、D的坐标代入一次函数表达式可得：直线AD的表达式，过点作y轴的平行线交AD于点S，设点P（x，x2﹣x﹣3），点S（x，﹣x﹣），可得S△PAD＝SP×（xD﹣xA）＝2（﹣x﹣﹣x2+x+3），由此可得点P的坐标，作点P关于y轴的对称点P′，过点B作与x轴负方向夹角为30°的直线BH，过点P′作PH⊥BH交于点H，P′H于y轴、x轴分别交于点E、F，则此时t最小，然后求出直线BH的表达式和直线P′H的表达式联立求解，从而可得答案；

（2）先求出直线PB的表达式，设：点P′、B′的坐标分别为：（m，m﹣6），（m+3，m﹣），分：①当∠B′QP′为直角时，②当∠QB′P′为直角时，③当∠QP′B′为直角时，三种情况讨论即可．

（1）y＝x2﹣x﹣3，令y＝0，则x＝4或﹣，

故点A、B的坐标分别为（﹣，0）、（4，0），

点C（0，﹣3）、点D（3，﹣3），

将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：

直线AD的表达式为：y＝﹣x﹣，

过点作y轴的平行线交AD于点S，

设点P（x，x2﹣x﹣3），点S（x，﹣x﹣）

S△PAD＝SP×（xD﹣xA）＝2（﹣x﹣﹣x2+x+3）＝﹣x2+3x+，

∵﹣＜0，

∴S△PAD有最大值，当x＝﹣＝时，函数取得最大值，

此时点P（，﹣）；

作点P关于y轴的对称点P′（﹣，﹣），

过点B作与x轴负方向夹角为30°的直线BH，

过点P′作PH⊥BH交于点H，P′H于y轴、x轴分别交于点E、F，则此时t最小，

∵直线BH与x轴负方向夹角为30°，则FH＝BF，

t＝PE+EF+FB＝P′E+EF+FH＝P′H，

设：直线BH的表达式为：y＝﹣x+s，

将点B的坐标代入上式并解得：

直线BH的表达式为：y＝﹣x+4…①，

同理可得直线P′H的表达式为：y＝x+3﹣…②，

则点F（﹣，0），

则直线P′H的倾斜角为60°，

联立①②并解得：x＝，y＝，

即点H（，）

t＝P′H＝2（xH﹣xP′）＝；

故点为F（，0）时，t最小（）；

（2）存在，理由：

同理可得直线PB的表达式为：y＝x﹣6，

则tan∠GB′P′＝＝tanα，则cosα＝，sinα＝，

P′B′＝PB＝，则点B′在点P′右侧的距离为：PBcos∠α＝3，

同理点B′在点P′上方的距离为：，

则设：点P′、B′的坐标分别为：（m，m﹣6），（m+3，m﹣），

①当∠B′QP′为直角时，如图（左侧图），

过点B′作B′G⊥y轴于点G，

∵∠B′QG+∠P′OH＝90°，∠B′QG+∠GB′Q＝90°，∴∠GB′Q＝∠P′OH，

∠B′GQ＝∠QHP′＝90°，QP′＝QB′，

∴△B′GQ≌△QHP′（AAS），则B′G＝OH，GQ＝P′H，

即：m﹣﹣n＝m，m+3＝n﹣m+6，

解得：m＝，n＝﹣；

同理当直线向下平移时：n＝﹣；

②当∠QB′P′为直角时，

同理可得：m+3﹣m＝n﹣m+，m﹣﹣m+6＝m+3，

解得：m＝，n＝，

同理当直线向下平移时：n＝﹣；

③当∠QP′B′为直角时，

经验证同②重复，解得n=；

综上，点Q的坐标为：（0，﹣）或（0，﹣）或（0，）或（0，﹣）．