Question

【题目】勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉吋期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数．

（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；请证明：m，n为正整数，且m＞n，若有一个直角三角形斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2﹣n2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；

（2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；

（3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1c2．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），a＝31，b＝4；（3）见解析

【解析】

（1）根据勾股定理：利用（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2，解得另一条直角边长为2mn，因为m，n为正整数，所以2mn也为正整数，即可得证；

（2）首先根据勾股定理求出关于的代数式，再根据被开方数需大于等于0，即可求得、的范围，且、均为正整数，将b的可能值：1，2，3，4分别代入，即可求得符合条件的正整数、；

（3）观察发现，当a1＝b1＝1，a2＝b2＝2时，c1c2＝5×5＝25，而，故存在．

（1）证明：

∵（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2，

＝（m2+n2+m2﹣n2）（m2+n2﹣m2+n2），

＝2m22n2，

＝（2mn）2，

∴（2mn）2+（m2﹣n2）2＝（m2+n2）2，

∵m，n为正整数，且m＞n，

∴2mn，m2﹣n2，m2+n2均为正整数，

∴该直角三角形一定为“整数直角三角形”；

（2）由勾股定理得：

7a﹣7+（150﹣30b）＝16×15，

∴，

由题意可知：7a﹣7＞0，150﹣30b＞0，

∴a＞1，0＜b＜5，

∵a和b均为正整数，

∴b的可能值为：1，2，3，4，

当b＝1时， ，不是正整数，故b＝1不符合题意；

当b＝2时，，不是正整数，故b＝2不符合题意；

当b＝3时，，不是正整数，故b＝3不符合题意；

当b＝4时，，是正整数，此时，

∵，，

∴，

∴b＝4符合题意，

∴；a＝31，b＝4；

（3）证明：观察发现，当a1＝b1＝1，a2＝b2＝2时，c1c2＝5×5＝25，

152+202＝225+400＝625，252＝625，

∴152+202＝252．

∴存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1c2．