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    【题目】1955年，印度数学家卡普耶卡（）研究了对四位自然数的一种变换：任给出四位数，用的四个数字由大到小重新排列成一个四位数，再减去它的反序数（即将的四个数字由小到大排列，规定反序后若左边数字有0，则将0去掉运算，比如0001，计算时按1计算），得出数，然后继续对重复上述变换，得数，…，如此进行下去，卡普耶卡发现，无论是多大的四位数，只要四个数字不全相同，最多进行次上述变换，就会出现变换前后相同的四位数，这个数称为变换的核.则四位数9631的变换的核为______.

    【答案】6174

    【解析】

    用9631的四个数字由大到小排列成一个四位数9631．则9631-1369=8262，用8262的四个数字由大到小重新排列成一个四位数8622．则8622-2268=6354，类似地进行上述变换，可知5次变换之后，此时开始停在一个数6174上．

    解：用9631的四个数字由大到小排列成一个四位数9631．则9631-1369=8262，
    用8262的四个数字由大到小重新排列成一个四位数8622．则8622-2268=6354，
    用6354的四个数字由大到小重新排列成一个四位数6543．则6543-3456=3087，
    用3087的四个数字由大到小重新排列成一个四位数8730．则8730-378=8352，
    用8352的四个数字由大到小重新排列成一个四位数8532．则8532-2358=6174，
    用6174的四个数字由大到小重新排列成一个四位数7641．则7641-1467=6174…
    可知7次变换之后，四位数最后都会停在一个确定的数6174上．
    故答案为：6174.

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    （1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；请证明：m，n为正整数，且m＞n，若有一个直角三角形斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2﹣n2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；

    （2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；

    （3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1c2．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上．则sin∠EFG的值为________．

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    （1）这次调查的学生为______人，图2中，______，______.

    （2）补全图1中的条形统计图.

    （3）在图2的扇形统计图中，表示“C.玩网络游戏”所在扇形的圆心角度数为______度.

    （4）据统计，辽阳市七年级约有学生12000人，那么根据抽样调查的结果，可估计零花钱用于“D.捐款”的学生约有______人.

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    【题目】请认真观察图形，解答下列问题：

    （1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；

    （2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；

    （3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2=53，ab=14，求：①a+b的值；②a4﹣b4的值．

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    【题目】如图，在中，为的中点，，.动点从点出发，沿方向以的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以的速度向点运动，运动时间是秒.

    （1）用含的代数式表示的长度.

    （2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使点位于线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

    （3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

    （4）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在边长为的正方形四个角上，分别剪去大小相等的等腰直角三角形，当三角形的直角边由小变大时，阴影部分的面积也随之发生变化，它们的变化情况如下：

    三角形的直角边长/

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    阴影部分的面积/

    398

    392

    382

    368

    350

    302

    272

    200

    （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？

    （2）请将上述表格补充完整；

    （3）当等腰直角三角形的直角边长由增加到时，阴影部分的面积是怎样变化的？

    （4）设等腰直角三角形的直角边长为，图中阴影部分的面积为，写出与的关系式.

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    （2）根据该校的实际情况，需从体育用品商店一次性购买排球和篮球共100个，要求购买排球和篮球的总费用不超过6500元，这所中学最多可以购买多少个篮球？

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