Question

【题目】如图，二次函数y1＝﹣x2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）和点B（0，2），图象的对称轴交x轴于点C，一次函数y2＝mx+n的图象经过点B、C．

（1）求二次函数的解析式y1和一次函数的解析式y2；

（2）点P在x轴下方的二次函数图象上，且S△ACP＝33，求点P的坐标；

（3）结合图象，求当x取什么范围的值时，有y1≤y2．

Answer 1

【答案】（1）y1＝﹣x2+x+2，y2＝﹣x+2；（2）P的坐标为（10，﹣22）和（﹣6，﹣22）；（3）当x≤0或x≥时，有y1≤y2

【解析】

（1）将点B、C代入，可求得抛物线的解析式，从而得出点C的坐标，再将点B、C代入直线，可得直线解析式；

（2）P到x的距离为h，根据△ACP的面积，可求得h的值，从而确定点P的坐标；

（3）联立二次函数和一次函数，得到交点坐标，根据图像得出不等式解集．

（1）将点A（﹣1，0）和点B（0，2）代入y1＝﹣x2+bx+c，得：，

解得：，

∴二次函数的解析式为y1＝﹣x2+x+2．

∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣＝2，

∴C（2，0），

∵一次函数y2＝mx+n的图象经过点B、C，

∴，解得，

∴一次函数的解析式为y2＝﹣x+2．

（2）设P到x的距离为h，

∵A（﹣1，0），C（2，0），

∴AC＝3，

∵S△ACP＝33，

∴ACh＝33，

∴h＝22，

∴P的纵坐标为﹣22，

把y＝﹣22代入y1＝﹣x2+x+2得，﹣22＝﹣x2+x+2，

解得x＝10或x＝﹣，

∴P的坐标为（10，﹣22）和（﹣6，﹣22）；

（3）解得或，

∴抛物线与直线的另一个交点为（，﹣），

由图象可知，当x≤0或x≥时，有y1≤y2．