Question

【题目】如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AC平分∠BAD，AC＝7，AD＝3，将四边形ABCD沿直线l无滑动翻滚一周，则对角线BD的中点O经过的路径长度为_____．

Answer 1

【答案】5π

【解析】

连接OC、OA，作DE⊥AC于E，证明A、B、C、D四点共圆，由圆周角定理得出∠BDC＝∠BAC＝45°，∠DBC＝∠DAC＝45°，证出BC＝DC，得出BD＝CD，证明△ADE是等腰直角三角形，得出AE＝DE＝AD＝3，求出CE＝AC﹣AE＝4，由勾股定理得出CD＝＝5，则BD＝5，将四边形ABCD沿直线l无滑动翻滚一周，则对角线BD的中点O经过的路径为半径为OC或OA的圆的周长，即可得出答案．

连接OC、OA，作DE⊥AC于E，如图所示：

∵∠BAD＝∠BCD＝90°，O为BD的中点，

∴OA＝OC＝BD＝OB＝OD，A、B、C、D四点共圆，

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC＝∠BAC＝45°，

∴∠BDC＝∠BAC＝45°，∠DBC＝∠DAC＝45°，

∴BC＝DC，

∴BD＝CD，

∵DE⊥AC，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴AE＝DE＝AD＝3，

∴CE＝AC﹣AE＝4，

∴CD=

∴BD＝5，

将四边形ABCD沿直线l无滑动翻滚一周，则对角线BD的中点O经过的路径为半径为OC或OA的圆的周长，

∴将四边形ABCD沿直线l无滑动翻滚一周，则对角线BD的中点O经过的路径长度＝5π；

故答案为：5π．