【题目】如图,⊙O的直径AB=26,P是AB上(不与点A,B重合)的任一点,点C,D为⊙O上的两点.若∠APD=∠BPC,则称∠DPC为直径AB的“回旋角”.
(1)若∠BPC=∠DPC=60°,则∠DPC是直径AB的“回旋角”吗?并说明理由;
(2)猜想回旋角”∠DPC的度数与弧CD的度数的关系,给出证明(提示:延长CP交⊙O于点E);
(3)若直径AB的“回旋角”为120°,且△PCD的周长为24+13,直接写出AP的长.
【答案】(1)∠DPC是直径AB的回旋角,理由见解析;(2)“回旋角”∠CPD的度数=的度数,证明见解析;(3)3或23.
【解析】
(1)由∠BPC=∠DPC=60°结合平角=180°,即可求出∠APD=60°=∠BPC,进而可说明∠DPC是直径AB的回旋角;
(2)延长CP交圆O于点E,连接OD,OC,OE,由“回旋角”的定义结合对顶角相等,可得出∠APE=∠APD,由圆的对称性可得出∠E=∠D,由等腰三角形的性质可得出∠E=∠C,进而可得出∠D=∠C,利用三角形内角和定理可得出∠COD=∠CPD,即“回旋角”∠CPD的度数=的度数;
(3)①当点P在半径OA上时,在图3中,过点F作CF⊥AB,交圆O于点F,连接PF,则PF=PC,利用(2)的方法可得出点P,D,F在同一条直线上,由直径AB的“回旋角”为120°,可得出∠APD=∠BPC=30°,进而可得出∠CPF=60°,即△PFC是等边三角形,根据等边三角形的性质可得出∠CFD=60°.连接OC,OD,过点O作OG⊥CD于点G,则∠COD=120°,根据等腰三角形的性质可得出CD=2DG,∠DOG=∠COD=60°,结合圆的直径为26可得出CD=13,由△PCD的周长为24+13,可得出DF=24,过点O作OH⊥DF于点H,在Rt△OHD和在Rt△OHD中,通过解直角三角形可得出OH,OP的值,再根据AP=OA﹣OP可求出AP的值;②当点P在半径OB上时,用①的方法,可得:BP=3,再根据AP=AB﹣BP可求出AP的值.综上即可得出结论.
(1)∵∠BPC=∠DPC=60°,
∴∠APD=180°﹣∠BPC﹣∠DPC=180°﹣60°﹣60°=60°,
∴∠APD=∠BPC,
∴∠DPC是直径AB的回旋角.
(2)“回旋角”∠CPD的度数=的度数,理由如下:
如图2,延长CP交圆O于点E,连接OD,OC,OE.
∵∠CPB=∠APE,∠APD=∠CPB,
∴∠APE=∠APD.
∵圆是轴对称图形,
∴∠E=∠D.
∵OE=OC,
∴∠E=∠C,
∴∠D=∠C.
由三角形内角和定理,可知:∠COD=∠CPD,
∴“回旋角”∠CPD的度数=的度数.
(3)①当点P在半径OA上时,在图3中,过点F作CF⊥AB,交圆O于点F,连接PF,则PF=PC.
同(2)的方法可得:点P,D,F在同一条直线上.
∵直径AB的“回旋角”为120°,
∴∠APD=∠BPC=30°,
∴∠CPF=60°,
∴△PFC是等边三角形,
∴∠CFD=60°.
连接OC,OD,过点O作OG⊥CD于点G,则∠COD=120°,
∴CD=2DG,∠DOG=∠COD=60°,
∵AB=26,
∴OC=13,
∴
∴CD=2×=.
∵△PCD的周长为24+,
∴PD+PC+CD=24+,
∴PD+PC=DF=24.
过点O作OH⊥DF于点H,则DH=FH=DF=12.
在Rt△OHD中,OH=,
在Rt△OHP中,∠OPH=30°,
∴OP=2OH=10,
∴AP=OA﹣OP=13﹣10=3;
②当点P在半径OB上时,
同①的方法,可得:BP=3,
∴AP=AB﹣BP=26﹣3=23.
综上所述,AP的长为:3或23.
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【题目】已知AB是半圆O的直径,M,N是半圆上不与A,B重合的两点,且点N在上.
(1)如图1,MA=6,MB=8,∠NOB=60°,求NB的长;
(2)如图2,过点M作MC⊥AB于点C,P是MN的中点,连接MB,NA,PC,试探究∠MCP,∠NAB,∠MBA之间的数量关系,并证明.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,,点D是AB上一点(点D与A,B不重合),连接CD.
(1)用尺规作图,线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连接DE交BC于点F,连接BE;(保留作图痕迹,不写作法.)
(2)当AD=BF时,求∠BEF的度数.
(3)求证:AD2+BD2=2CD2.
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【题目】某果农在其承包的果园中种植了60棵桔子树,每棵桔子树的产量是100kg,果农想增加桔子树的棵数来增产,但增加果树会导致每棵树的光照减少,使得单棵果树产量减少,试验发现每增加1棵桔子树,单棵桔子树的产量减少0.5kg.
(1)在投入成本最低的情况下,增加多少棵桔子树时,可以使果园总产量达到6650kg?
(2)设增加x棵桔子树,考虑实际增加桔子树的情况,10≤x≤40,请你计算一下,果园总产量最多为多少kg,最少为多少kg?
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【题目】如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AC平分∠BAD,AC=7,AD=3,将四边形ABCD沿直线l无滑动翻滚一周,则对角线BD的中点O经过的路径长度为_____.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,直径AD交BC于点E,延长AD至点F,使DF=2OD,连接FC并延长交过点A的切线于点G,且满足AG∥BC,连接OC,若cos∠BAC=,BC=6.
(1)求证:∠COD=∠BAC;
(2)求⊙O的半径OC;
(3)求证:CF是⊙O的切线.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于A(﹣2,0),点B(4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线上的一动点,且在直线BC的上方,当S△MBC取得最大值时,求点M的坐标;
(3)在直线的上方,抛物线是否存在点M,使四边形ABMC的面积为15?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在中,,,,动点从点出发,以每秒个单位长度的速度沿着方向向点运动,动点从点出发,以每秒个单位长度的速度沿着方向向点运动,如果,两点同时出发,当到达点处时,两点都停止运动.设运动的时间为秒,的面积为.
(1)用含的代数式表示:
, , ;
(2)求的最大值.
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【题目】在慈善一日捐活动中,学校团总支为了了解本校学生的捐款情况,随机抽取了50名学生的捐款数进行了统计,并绘制成下面的统计图.
(1)这50名同学捐款的众数为 元,中位数为 元;
(2)该校共有600名学生参与捐款,请估计该校学生的捐款总数.
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