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【题目】如图,⊙O的直径AB26PAB上(不与点AB重合)的任一点,点CD为⊙O上的两点.若∠APD=∠BPC,则称∠DPC为直径AB回旋角

1)若∠BPC=∠DPC60°,则∠DPC是直径AB回旋角吗?并说明理由;

2)猜想回旋角DPC的度数与弧CD的度数的关系,给出证明(提示:延长CP交⊙O于点E);

3)若直径AB回旋角120°,且△PCD的周长为24+13,直接写出AP的长.

【答案】1)∠DPC是直径AB的回旋角,理由见解析;(2回旋角CPD的度数=的度数,证明见解析;(3323

【解析】

1)由∠BPC=∠DPC60°结合平角=180°,即可求出∠APD60°=∠BPC,进而可说明∠DPC是直径AB的回旋角;

2)延长CP交圆O于点E,连接ODOCOE,由回旋角的定义结合对顶角相等,可得出∠APE=∠APD,由圆的对称性可得出∠E=∠D,由等腰三角形的性质可得出∠E=∠C,进而可得出∠D=∠C,利用三角形内角和定理可得出∠COD=∠CPD,即回旋角CPD的度数=的度数;

3)①当点P在半径OA上时,在图3中,过点FCFAB,交圆O于点F,连接PF,则PFPC,利用(2)的方法可得出点PDF在同一条直线上,由直径AB回旋角120°,可得出∠APD=∠BPC30°,进而可得出∠CPF60°,即△PFC是等边三角形,根据等边三角形的性质可得出∠CFD60°.连接OCOD,过点OOGCD于点G,则∠COD120°,根据等腰三角形的性质可得出CD2DG,∠DOGCOD60°,结合圆的直径为26可得出CD13,由△PCD的周长为24+13,可得出DF24,过点OOHDF于点H,在RtOHD和在RtOHD中,通过解直角三角形可得出OHOP的值,再根据APOAOP可求出AP的值;②当点P在半径OB上时,用①的方法,可得:BP3,再根据APABBP可求出AP的值.综上即可得出结论.

1)∵∠BPC=∠DPC60°

∴∠APD180°﹣∠BPC﹣∠DPC180°60°60°60°

∴∠APD=∠BPC

∴∠DPC是直径AB的回旋角.

2回旋角CPD的度数=的度数,理由如下:

如图2,延长CP交圆O于点E,连接ODOCOE

∵∠CPB=∠APE,∠APD=∠CPB

∴∠APE=∠APD

∵圆是轴对称图形,

∴∠E=∠D

OEOC

∴∠E=∠C

∴∠D=∠C

由三角形内角和定理,可知:∠COD=∠CPD

回旋角CPD的度数=的度数.

3)①当点P在半径OA上时,在图3中,过点FCFAB,交圆O于点F,连接PF,则PFPC

同(2)的方法可得:点PDF在同一条直线上.

∵直径AB回旋角120°

∴∠APD=∠BPC30°

∴∠CPF60°

∴△PFC是等边三角形,

∴∠CFD60°

连接OCOD,过点OOGCD于点G,则∠COD120°

CD2DG,∠DOGCOD60°

∵AB=26,

∴OC=13,

CD.

∵△PCD的周长为24+

PD+PC+CD24+

PD+PCDF24

过点OOHDF于点H,则DHFHDF12

RtOHD中,OH,

RtOHP中,∠OPH30°

OP2OH10

APOAOP13103

②当点P在半径OB上时,

同①的方法,可得:BP3

APABBP26323

综上所述,AP的长为:323

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