Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，，点D是AB上一点（点D与A，B不重合），连接CD．

（1）用尺规作图，线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE；（保留作图痕迹，不写作法．）

（2）当AD＝BF时，求∠BEF的度数．

（3）求证：AD2+BD2＝2CD2．

Answer 1

【答案】（1）如图，见解析；CE、BE为所作；（2）∠BEF＝67.5°；（3）见解析.

【解析】

(1)延长线段DC，以C为圆心,以适当的长为半径画弧交CD于两点M、N.2)分别以两点为圆心,以大于二分之一MN同样长为半径画弧,两弧交于P,作射线CP，以C为圆心，以CD长为半径作弧，交射线CP与点E，连接BE即可.

（2）根据圆中，直径对直角推导出，△ACB为等腰直角三角形，根据旋转的性质得到，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE，由此判断呢△ACD≌△BCE，得到∠CBE＝∠A＝45°，再根据AD=BF推出∠BEF＝∠BFE，最后计算∠BEF的度数即可.

（3）根据勾股定理可得BE2+DB2＝DE2，根据题意和直角三角形的边角关系可得BE＝AD，DE＝CD，然后换算解决即可.

（1）解：如图，CE、BE为所作；

（2）解：∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

∵，

∴AC＝BC，

∴△ACB为等腰直角三角形，

∴∠A＝∠ABC＝45°，

∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，

∴∠DCE＝90°，CD＝CE，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°，

∵AD＝BF，

∴BF＝BE，

∴∠BEF＝∠BFE，

∴∠BEF＝（180°﹣45°）＝67.5°；

（3）证明：∵∠ABC＝45°，∠CBE＝45°，

∴∠DBE＝90°，

∴BE2+DB2＝DE2，

∵BE＝AD，DE＝CD，

∴AD2+BD2＝2CD2．