Question

10．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，点E是BC的中点，连接AE，AB=4，BC=3，将∠BAE绕点A逆时针旋转，使∠BAE的两边分别与线段CD的延长线相交于点G，H．当AH=AC时，CG=$\frac{71}{12}$．

Answer 1

分析 设∠BAE=∠GAH=α，∠DAG=β，由四边形ABCD是矩形，得到∠B=90°，根据勾股定理得到AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{73}}{2}$，由三角函数的定义得到sinα，cosα，sin（α+β），cos（α+β）=$\frac{AD}{AH}$，根据两角和和两角差的正余弦公式求得cosβ，sinβ，于是得到tanβ，即可得到结论．

解答 解：设∠BAE=∠GAH=α，∠DAG=β，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{73}}{2}$，
∴sinα=$\frac{3}{2\sqrt{73}}$，cosα=$\frac{4}{\sqrt{73}}$，
∴sin（α+β）=$\frac{HD}{AH}=\frac{4}{5}$，cos（α+β）=$\frac{AD}{AH}$=$\frac{3}{5}$，
∴cosβ=cos（α+β-α）=cos（α+β）•cosα+sin（α+β）•sinβ=$\frac{3}{5}$×$\frac{4}{\sqrt{73}}$+$\frac{4}{5}$•$\frac{3}{2\sqrt{73}}$=$\frac{18}{5\sqrt{73}}$，
sinβ=sin（α+β-α）=sin（α+β）•cosα-cos（α+β）•sinα=$\frac{4}{5}$×$\frac{4}{\sqrt{73}}$-$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{2\sqrt{73}}$=$\frac{23}{10\sqrt{73}}$，
∴tanβ=$\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{23}{36}$=$\frac{GD}{AD}$，
∴DG=AD•tanβ=3×$\frac{23}{36}$=$\frac{23}{12}$，
∴CG=4+$\frac{23}{12}$=$\frac{71}{12}$．
故答案为：$\frac{71}{12}$．

点评 本题考查了旋转的性质，勾股定理，矩形的性质，三角函数，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．