Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．

（1）求证：△DCE为等腰三角形；

（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝，求GH的长；

（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）CE＝2GH，理由见解析.

【解析】

（1）根据题意可得∠CBD＝∠ABC＝∠ACB，，由BD=DE，可得∠DBC＝∠E＝∠ACB，根据三角形的外角性质可得∠CDE＝∠ACB＝∠E，可证△DCE为等腰三角形；

（2）根据题意可得CH=DH=1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG=GC，BH=HE=+1，即可求GH的值；

（3）CE=2GH，根据等腰三角形的性可得BG=GC，BH=HE，可得GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝BC﹣BE+CE＝CE，即CE=2GH

证明：（1）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD＝∠ABC＝∠ACB，

∵BD＝DE，

∴∠DBC＝∠E＝∠ACB，

∵∠ACB＝∠E+∠CDE，

∴∠CDE＝∠ACB＝∠E，

∴CD＝CE，

∴△DCE是等腰三角形

（2）

∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE＝，

∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，

∴∠HDC＝∠DCH＝45°

∴DH＝CH，

∵DH2+CH2＝DC2＝2，

∴DH＝CH＝1，

∵∠ABC＝∠DCH＝45°

∴△ABC是等腰直角三角形，

又∵点G是BC 中点

∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG，

∵BD＝DE，DH⊥BC

∴BH＝HE＝+1

∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH＝+1

∴1+2GH＝+1

∴GH＝

（3）CE＝2GH

理由如下：∵AB＝CA，点G 是BC的中点，

∴BG＝GC，

∵BD＝DE，DH⊥BC，

∴BH＝HE，

∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝BC﹣BE+CE＝CE，

∴CE＝2GH