Question

1．如图，等腰△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且BD=2DC，连接AD并延长交△ABC的外接圆于点E，从点C作CF⊥CE交AE于点F，连接BF．
（1）求证：△ABF∽△CBE；
（2）若△ABC为等边三角形，求∠AFC的大小．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，构建垂线，根据等边对等角得：∠ABC=∠ACB，由同弧所对的圆周角相等得：AE为∠BEC的角平分线，由角平分线的性质得：DI=DJ，FG=FC，根据面积的关系和BD=2DC得BE=2CE，证明Rt△GEF≌Rt△CEF，可知FG垂直平分BE，从而得△FBE为等腰三角形，有∠AFB=∠BEC，根据两角相等证得结论；
（2）由等边△ABC得∠ABC=∠AEC=60°，所以根据外角定理得∠AFC=∠FCE+∠AEC=90°+60°=150°．

解答 证明：过F作FG⊥BE交BE于点G，过D作DI⊥BE、DJ⊥CE，交BE于点I、CE于点J，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠AEB=∠ACB=∠ABC=∠AEC，
∴AE为∠BEC的角平分线，
∴DI=DJ，
∵BD=2DC，
∴S_△DBE=2S_△DCE，
∴S_△DBE=$\frac{1}{2}$BE•DI=2 S_△DCE=2×$\frac{1}{2}$CE•DJ，
∴BE=2CE，
∵AE为∠BEC的角平分线，FG⊥BE，CE⊥CF，
∴FG=CF，
∴EF=EF，
∴Rt△GEF≌Rt△CEF，
∴CE=GE，
∴BG=EG，
即FG垂直平分BE，
∴FB=FE，
∴△FBE为等腰三角形，
∴∠AEB=∠FBE=∠ABC，
∵∠AFB=∠FBE+∠AEB，
∠BEC=∠AEC+∠AEB，
∴∠AFB=∠BEC，
又∵∠BCE=∠BAF，
∴△ABF∽△CBE，
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°
∴∠AEC=∠ABC=60°
∴∠AFC=∠FCE+∠AEC=90°+60°=150°．

点评 本题考查了角平分线、等腰三角形、等边三角形、相似三角形等性质，本题考查的知识点较多，综合性较强；与圆中的性质相结合，如角的相等关系：①等边对等角②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，③等边三角形的每个角都是60°；边的相等关系：①等角对等边，②全等，③三角形面积的关系，同高三角形的面积的比就是对应底边的比．