Question

【题目】已知抛物线y=mx2+（2﹣2m）x+m﹣2（m是常数）．

（1）无论m取何值，该抛物线都经过定点 D．直接写出点D的坐标．

（2）当m取不同的值时，该抛物线的顶点均在某个函数的图象上，求出这个函数的表达式．

（3）若在0≤x≤1的范围内，至少存在一个x的值，使y＞0，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) 定点D（1，0）；(2)在；（3）m＞2．

【解析】

①当x=1时，y=0.说明无论m取何值，函数图像都经过同一个点（1,0），可求定点.

②根据抛物线方程求出顶点坐标，进而求出函数表达式.

③根据一二问求出抛物线与x轴的交点，再讨论对称轴与交点坐标的位置关系.

解：（1）∵抛物线y=mx2+（2﹣2m）x+m﹣2=m（x﹣1）2+2（x﹣1）

∴当x﹣1=0时，无论m为何值，抛物线经过定点 D，

∴x=1，y=0，

∴定点D（1，0）；

（2）∵﹣=﹣=1﹣，

==﹣，

∴顶点为（1﹣，﹣），

∴顶点在函数y=x﹣1上；

（3）由（1）、（2）可得，该抛物线与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线x=1﹣．

①

当m＞0时，抛物线开口方向向上，且1﹣＜1，

由图象可知，要满足条件，只要x=0式，y=m﹣2＞0，

∴m＞2；

②

当m＜0时，抛物线开口方向向下，且1﹣＞1，

由图象可知，不符合题意；

综上所述，m的取值范围是：m＞2．