Question

【题目】如图，的半径，AB是弦，直线EF经过点B，于点C，．

求证：EF是的切线；

若，求AB的长；

在的条件下，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）2（3）

【解析】分析：1）由OA=OB得到∠OAB=∠OBA，加上∠BAC=∠OAB，则∠BAC=∠OBA，于是可判断OB∥AC，由于AC⊥EF，所以OB⊥EF，则可根据切线的判定定理得到EF是⊙O的切线；

（2）过点O作OD⊥AB于点D，根据垂径定理得AD=AB，再证明Rt△AOD∽Rt△ABC，利用相似比可计算出AB=2；

（3）由AB=OB=OC=2可判断△OAB为等边三角形，则∠AOB=60°，则∠ABC=30°，则可计算出BC=AC=，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S四边形AOBC-S扇形OAB=S△AOB+S△ABC-S扇形OAB进行计算即可．

详解：证明：，

，

，

，

，

，

，

是的切线；

过点O作于点D，则，

，

∽，

，即，

；

，

为等边三角形，

，

，

，

，

∴

=

=