Question

1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-3ax+c与x轴交于A（-1，0）、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的对称轴及B点的坐标；
（2）求证：∠CAO=∠BCO；
（3）点D是射线BC上一点（不与B、C重合），联结OD，过点B作BE⊥OD，垂足为△BOD外一点E，若△BDE与△ABC相似，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得对称轴，根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得B点坐标；
（2）根据正切函数值相等的两锐角相等，可得答案；
（3）根据两角对应相等的两个三角形相似，可得①∠EBD=∠CBA，根据余角的性质，可得∠EDB=∠CAB=∠OCD=∠ODC，根据等腰三角形的判定，可得OD的长，根据勾股定理，可得a的值，根据a的值OH的长，可得D点坐标；
②根据等腰三角形的判定，可得OD的长，根据勾股定理，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

解答 解：（1）将A、C点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a+3a+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
对称轴为x=$\frac{3}{2}$，
A到对称轴的距离是$\frac{3}{2}$-（-1）=$\frac{5}{2}$，
B点的横坐标为，$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{2}$=4，
B点坐标为（4，0）；
（2）证明：如图1，
∵AO=1，OC=2，BO=4，
∴tan∠CAO=$\frac{CO}{AO}$=2，tan∠BCO=$\frac{OB}{OC}$2，
∴tan∠CAO=tan∠BCO，
∴∠CAO=∠BCO；
（3）垂足为△BOD外一点E，得△BOD为钝角三角形，∠BED=∠ACB=90°，
①∠EBD=∠CBA时，如图2，
过D作DH⊥OB于H，
∠EDB=∠CAB=∠OCD=∠ODC，
OD=OC=2．
tan∠CBO=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{DH}{HB}$=$\frac{1}{2}$，
设DH=a，HB=2a，OH=4-2a，
OD²=OH²+DH²，即4=（4-2a）²+a²，
解得a=$\frac{6}{5}$，a=2（舍），
当a=$\frac{6}{5}$时，OH=4-2a=$\frac{8}{5}$，
D点坐标为（$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$）；
②∠EDB=∠CBA时，如图3，
此时OD=OB=4，
BC：y=-$\frac{1}{2}$x+2，
设D（m，-$\frac{1}{2}$m+2），
m²+（-$\frac{1}{2}$m+2）²=16，解得m=-$\frac{12}{5}$，m=4（舍），
当m=-$\frac{12}{5}$时，-$\frac{1}{2}$m+2=$\frac{16}{5}$，
D（-$\frac{12}{5}$，$\frac{16}{5}$），
综上所述：D点坐标为（$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$），（-$\frac{12}{5}$，$\frac{16}{5}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用正切函数值相等的两锐角相等是解题关键；利用两角对应相等的两个三角形相似得出①∠EBD=∠CBA，②∠EDB=∠CBA是解题关键，又利用了勾股定理．