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【题目】九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理发现某种商品的销售量P(件)与销售时间x天(1≤x≤90,且x为整数)成一次函数关系,具体数量关系如下表.已知商品的进价为30/件,该商品的售价y(元/件)与销售时间x天的函数关系如图所示,每天的销售利润为w(元).

(1)求出wx的函数关系式;

(2)问销售该商品第几天时,当天的销售利润最大?并求出最大利润;

(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天的销售利润不低于5600元?

【答案】(1)w=;(2)销售第45天时,当天获得的销售利润最大,最大利润是6050元;(3)该商品在销售过程中,共有24天每天的销售利润不低于5600元.

【解析】分析:1)当1x50设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式根据图形可得出当50x90y=90.再结合给定表格设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n代入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式

2)根据w关于x的函数关系式分段考虑其最值问题.当1x50结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值50x90根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值两个最大值作比较即可得出结论

3)令w5600可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式解不等式即可得出x的取值范围由此即可得出结论.

详解:(1)当0x50设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b

y=kx+b经过点(040)、(5090),解得∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40

50x90y=90∴售价y与时间x的函数关系式为y=

由每天的销售量p与时间x成一次函数关系设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n

p=mx+n过点(6080)、(30140),解得p=﹣2x+2000x90x为整数)0x50w=(y30p=(x+4030)(﹣2x+200)=﹣2x2+180x+2000

50x90w=(9030)(﹣2x+200)=﹣120x+12000

综上所示每天的销售利润w与时间x的函数关系式是

w=

2)当0x50w=﹣2x2+180x+2000=﹣2x452+6050

a=﹣200x50∴当x=45w取最大值最大值为6050元.

50x90=﹣120x+12000

k=﹣1200wx增大而减小∴当x=50w取最大值最大值为6000元.

60506000∴当x=45w最大最大值为6050元.

即销售第45天时当天获得的销售利润最大最大利润是6050元.

3)当1x50w=﹣2x2+180x+20005600即﹣2x2+180x36000解得30x505030+1=21(天)

50x90w=﹣120x+120005600即﹣120x+64000解得50x53

x为整数50x535350+1=4(天).

综上可知21+41=24(天)故该商品在销售过程中共有24天每天的销售利润不低于5600元.

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