Question

已知直线l₁：y=-x+2与x轴和y轴分别交于A、B两点，另一条直线l₂经过C（1，0），且把△AOB分成两个部分．
（1）若△AOB被平分，则l₂的解析式

 

；
（2）若△AOB的面积被分成1：5的两部分，则L₂的解析式为

 

．

Answer 1

考点：两条直线相交或平行问题

专题：计算题

分析：（1）如图1，先根据坐标轴上点的坐标特征求出A（2，0），B（0，2），由于C（1，0），则点C为OA的中点，所以l₂经过B点，直线l₂把△AOB平分，
然后利用待定系数法求l₂的解析式；
（2）先计算S_△AOB=2，则△OCD的面积的

1

6

=

1

3

，然后分类讨论：当l₂与y轴的交点为D，如图2，由△OCD的面积=

1

3

得OD=

2

3

，则D点坐标为（0，

2

3

），再利用待定系数法求直线DC的解析式；当l₂与AB的交点为E，如图3，△ACE的面积=

1

3

，设E（x，y），根据面积公式得

1

2

•1•y=

1

3

，解得y=

2

3

，把y=

2

3

代入y=-x+2得-x+2=

2

3

，解得x=

4

3

，则E点坐标为（

4

3

，

2

3

），然后利用待定系数法求直线EC的解析式．

解答：解：（1）如图1，当y=0，-x+2=0，解得x=2，则A（2，0）；
当x=0，y=-x+2=2，则B（0，2），
∵C（1，0），
∴点C为OA的中点，
∴l₂经过B点，直线l₂把△AOB平分，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（0，2）、C（1，0）代入得

b=2 k+b=0

，解得

k=-2 b=2

，
∴l₂的解析式为y=-2x+2；
（2）∵S_△AOB=

1

2

•2•2=2，
∴△OCD的面积的

1

6

=

1

6

×2=

1

3

，
当l₂与y轴的交点为D，如图2，△OCD的面积=

1

3

，
∵

1

2

•1•OD=

1

3

，解得OD=

2

3

，
∴D点坐标为（0，

2

3

），
设直线DC的解析式为y=kx+b，
把D（0，

2

3

）、C（1，0）代入得

b= 2 3 k+b=0

，解得

k=- 2 3 b= 2 3

，
∴l₂的解析式为y=-

2

3

x+

2

3

；
当l₂与AB的交点为E，如图3，△ACE的面积=

1

3

，设E（x，y）
∵

1

2

•1•y=

1

3

，解得y=

2

3

，
把y=

2

3

代入y=-x+2得-x+2=

2

3

，解得x=

4

3

∴E点坐标为（

4

3

，

2

3

），
设直线EC的解析式为y=kx+b，
把E（

4

3

，

2

3

）、C（1，0）代入得

4 3 k+b= 2 3 k+b=0

，解得

k=2 b=-2

，
∴l₂的解析式为y=2x-2．
故答案为y=-2x+2；y=-

2

3

x+

2

3

或y=2x-2．

点评：本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了待定系数法求一次函数解析式．