Question

【题目】如图，在矩形中是的中点，平分交于点，连接，以下四个结论：①平分；②；③；④．其中结论正确的个数是（ ）

A.4个B.3个C.2个D.1个

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ADE≌△BCE（SAS），进而求出△ABE是等边三角形，再求出△AEP≌△ABP（SSS），进而得出∠EAP＝∠PAB＝30°，再分别得出AD与AB，PB与PC的数量关系即可．

解：∵在矩形ABCD中，点E是CD的中点，

∴DE＝CE，

又∵AD＝BC，∠D＝∠C，

∴△ADE≌△BCE（SAS），

∴AE＝BE，∠DEA＝∠CEB，

∵EA平分∠BED，

∴∠AED＝∠AEB，

∴∠AED＝∠AEB＝∠CEB＝60°，故：①EB平分∠AEC，正确；

∴△ABE是等边三角形，

∴∠DAE＝∠EBC＝30°，AE＝AB，

∵PE⊥AE，

∴∠DEA＋∠CEP＝90°，

则∠CEP＝30°，

故∠PEB＝∠EBP＝30°，

则EP＝BP，

又∵AE＝AB，AP＝AP，

∴△AEP≌△ABP（SSS），

∴∠EAP＝∠PAB＝30°，

∴AP⊥BE，故②正确；

∵∠DAE＝30°，

∴tan∠DAE＝＝tan30°＝，

∴AD＝DE，即，

∵AB＝CD，

∴③正确；

∵∠CEP＝30°，

∴CP＝EP，

∵EP＝BP，

∴CP＝BP，

∴④PB＝2PC正确．

综上所述：正确的共有4个．

故选：A．