Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、AB上一点，且AF＝BE，AE与DF交于点G．

（1）求证：AE＝DF．

（2）如图2，在DG上取一点M，使AG＝MG，连接CM，取CM的中点P．写出线段PD与DG之间的数量关系，并说明理由．

（3）如图3，连接CG．若CG＝BC，则AF：FB的值为　 　．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)DG＝DP，理由见解析；(3)1∶1.

【解析】

（1）用SAS证△ABE≌△DAF即可；

（2）DG＝DP，连接GP并延长至点Q，使PQ＝PG，连接CQ，DQ，先用SAS证△PMG≌△PCQ，得CQ＝MG＝AG，进一步证明∠DAG＝∠DCQ，再用SAS证明△DAG≌△DCQ，得∠ADF＝∠CDQ，于是有∠FDQ＝90°，进而可得△DPG为等腰直角三角形，由此即得结论；

（3）延长AE、DC交于点H，由条件CG＝BC可证CD=CG=CH，进一步用SAS证△ABE≌△HCE，得BE=CE，因为AF＝BE，所以AF：BF=BE：CE=1：1.

解：（1）证明：正方形ABCD中，

AB＝AD，∠ABE＝∠DAF＝90°，BE＝AF，

∴△ABE≌△DAF（SAS）

∴AE＝DF；

（2）DG＝DP，理由如下：

如图，连接GP并延长至点Q，使PQ＝PG，连接CQ，DQ，

∵PM=PC，∠MPG=∠CPQ，

∴△PMG≌△PCQ（SAS），

∴CQ＝MG＝AG，∠PGM=∠PQC，

∴CQ∥DF，

∴∠DCQ＝∠FDC＝∠AFG，

∵∠AFG＋∠BAE＝90°，∠DAG＋∠BAE＝90°，

∴∠AFG=∠DAG.

∴∠DAG＝∠DCQ.

又∵DA=DC，

∴△DAG≌△DCQ（SAS）.

∴∠ADF＝∠CDQ.

∵∠ADC＝90°，

∴∠FDQ＝90°.

∴△GDQ为等腰直角三角形

∵P为GQ的中点

∴△DPG为等腰直角三角形.

∴DG＝DP.

（3）1∶1.

证明：延长AE、DC交于点H，

∵CG=BC，BC=CD，

∴CG=CD，∴∠1=∠2.

∵∠1+∠H=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠3=∠H.

∴CG=CH.

∴CD=CG=CH.

∵AB=CD，∴AB=CH.

∵∠BAE=∠H，∠AEB=∠HEC，

∴△ABE≌△HCE（SAS）.

∴BE=CE.

∵AF=BE，

∴AF：BF=BE：CE=1：1.