Question

【题目】如图，A（﹣5，0），B（﹣3，0）点C在y的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB．∠CDA＝90°，点P从点A出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．

（1）当时t＝1，求PC的长；

（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；

（3）以线段PC为直径的⊙Q随点P的运动而变化，当⊙Q与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）PC＝5；（2）当∠BCP＝15°时，t的值为（5﹣3）秒或（5﹣）秒；（3）t的值为8秒或5秒或秒．

【解析】

（1）由题意可知△BOC是等腰直角三角形，由此即可解决问题．

（2）分两种情形①当点P在点B右侧时，②当点P′在点B左侧时，分别解直角三角形即可．

（3）由题意知，若该圆与四边形ABCD的边相切，有三种情况：①当该圆与BC相切于点C时．②当该圆与CD相切于点C时．③当该圆与AD相切时；分别解直角三角形，求出AP的长即可解决问题．

（1）A（﹣5，0），B（﹣3，0），

∴OA＝5，OB＝3，

当t＝1时，AP＝1，

∴OP＝OA﹣AP＝4，

∵∠CBO＝45°，∠BOC＝90°，

∴△BOC是等腰直角三角形，

∴∠OCB＝45°，OC＝OB＝3，

∴PC＝＝5；

（2）分两种情况：如图1所示：①当P在点B的左侧时，

∵∠CBO＝45°，∠BCP＝15°

∴∠OCP＝∠OCB+∠BCP＝45°+15°＝60°，

∴∠OPC＝30°，

∴OP＝OC＝3，

∴AP＝OA﹣OP＝5﹣3，

∵点P沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，

∴t＝5﹣3，

②当在点B的右侧时，

∵∠OCB＝45°，∠BC＝15°

∴∠OC＝∠OCB﹣∠BC＝45°﹣15°＝30°，

∴O＝OC＝，

∴A＝OA﹣O＝5﹣，

∵点沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，

∴t＝5﹣；

综上所述，当∠BCP＝15°时，t的值为（5﹣3）秒或（5﹣）秒；

（3）如图2中，由题意知，若该圆与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：

①当该圆与BC相切于点C时，有∠BCP＝90°，

从而∠OCP＝45°，得到OP1＝OC＝3，此时AP1＝5+3＝8，

∴t＝8；

②当该圆与CD相切于点C时，有P2C⊥CD，即点P2与点O重合，

此时AP2＝5，

∴t＝5；

③当该圆与AD相切时，

设P3（5﹣t，0），则Q（，），半径r2＝（）2+（）2，

作QH⊥AD于点H，则QH＝，

∵QH2＝r2，

∴（）2＝（）2+（）2，

解得t＝，

综上所述，t的值为8秒或5秒或秒．