Question

关于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根为1，求m的值；
（3）求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长．

Answer 1

考点：根的判别式,一元二次方程的解,根与系数的关系,勾股定理

专题：

分析：（1）根据关于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判别式的符号来证明结论；
（2）根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0，即可求得m的值；
（3）先由根与系数的关系求得方程的另一根为3，再分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：

10

；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2

2

；再根据三角形的周长公式进行计算．

解答：（1）证明：∵△=（m+2）²-4（2m-1）=（m-2）²+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m-2）²+4＞0，即△＞0，
∴关于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根；

（2）解：根据题意，得
1²-1×（m+2）+（2m-1）=0，
解得，m=2；

（3）解：方程的另一根为：m+2-1=2+1=3；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：

10

；
该直角三角形的周长为1+3+

10

=4+

10

；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2

2

；
则该直角三角形的周长为1+3+2

2

=4+2

2

．

点评：本题综合考查了勾股定理、根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程解的定义．解答（3）时，采用了“分类讨论”的数学思想．