Question

如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）若∠AFC=2∠D，连接AC、BE，试判断四边形ABEC的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的判定

专题：

分析：（1）由将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，易得AB∥EC，AB=EC，然后由AAS，即可判定：△ABF≌△ECF；
（2）由AB∥EC，AB=EC，可得四边形ABEC是平行四边形，又由∠AFC=2∠D，可得∠ABF=∠BAF，即可得AF=B，继而可得AE=BC，即可判定四边形ABEC是矩形．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAF=∠CEF，
∵CE=DC，
∴AB=EC，
在△ABF和△ECF中，

∠BAF=∠ECF ∠AFB=∠EFC AB=EC

，
∴△ABF≌△ECF（AAS）；

（2）四边形ABEC是矩形．
理由：∵AB∥CD，AB=EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AE=2AF，BC=2BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D，
∵∠AFC=2∠D，∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABF=∠BAF，
∴AF=BF，
∴AE=BC，
∴平行四边形ABEC是矩形．

点评：此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．