Question

【题目】（1）问题发现

如图1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=45°，点E是线段AC上一动点，连接DE．

填空：①则的值为______；②∠EAD的度数为_______．

（2）类比探究

如图2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°，点E是线段AC上一动点，连接DE．请求出的值及∠EAD的度数；

（3）拓展延伸

如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接AM、BM，若BC=4，则当△ABM是直角三角形时，求线段AD的长．

Answer 1

【答案】（1）1，；（2），∠EAD=90°；（3）线段AD的长为（2+6）．

【解析】

（1）由题意可得Rt△ABC和Rt△DBE均为等腰直角三角形，通过证明△ABD≌△BCE，可得AD=EC，∠DAB=∠BCE=45°，从而可得到结论；
（2）通过证明△ABD∽△BCE，可得的值，∠BAD=∠ACB=60°，即可求∠EAD的度数；
（3）由直角三角形的性质可证AM=BM=DE，即可求DE=4，由勾股定理可求CE的长，从而可求出AD的长．

（1）∵∠ABC=∠DBE=90°, ∠ACB=∠BED=45°，

∴∠CBE=∠ABD,∠CAB=45°

∴AB=BC，BE=DE，

∴△BCE≌△BAD

∴AD=CE，∠BAD=∠BCE=45°

∴=1，∠EAD=∠CAB+∠BAD=90°

故答案为：1，

（2），∠EAD=90°

理由如下：∵∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°

∴∠ABD=∠EBC，∠BAC=∠BDE=30°

∴在Rt△ABC中，tan∠ACB==tan60°=

在Rt△DBE中，tan∠BED==tan60°=

∴=

又∵∠ABD=∠EBC

∴△ABD∽△BCE

∴==，∠BAD=∠ACB=60°

∵∠BAC=30°

∴∠EAD=∠BAD+∠BAC=60°+30°=90°，

（3）如图，由（2）知：==，∠EAD=90°

∴AD=CE，

在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=4，

∴AC=8，AB=4，

∵∠EAD=∠EBD=90°，且点M是DE的中点，

∴AM=BM=DE，

∵△ABM为直角三角形，

∴AM2+BM2=AB2=（4）2=48，

∴AM=BM=2，

∴DE=4，

设EC=x，则AD=x，AE=8-x

Rt△ADE中，AE2+AD2=DE2

∴(8-x)2+(x)2=(4)2，

解之得：x=2+2（负值舍去），

∴EC=2+2，

∴AD=CE=2+6，

∴线段AD的长为（2+6），