Question

【题目】定义：连接抛物线上两点的线段叫抛物线的弦，在这两点之间抛物线上的任意一点P与此两点构成的三角形称作抛物线的弦三角，点P称作弦锥，设点P的横坐标为x．

已知抛物线经过A（1，2）、B（m，n）、C（3，﹣2）三点，P是抛物线上AC之间的一点，以AC为弦的弦三角为△PAC.

（1）图一，当m＝2，n＝1时，求该抛物线的解析式，若x＝k1时△PAC的面积最大，求k1的值．

（2）图二，当m＝2，n≠1时，用n表示该抛物线的解析式，若x＝k2时△PAC的面积最大，求k2的值．k1与k2有何数量关系？

（3）图三，当m≠2，n≠1时，用m，n表示该抛物线的解析式，若x＝k3时△PAC的面积最大，求k3的值．观察图1，2，3，过定点A、C，根据B在各种不同位置所得计算结果，你发现通过两个定点的抛物线系中，以此两点为弦的弦三角的面积取得最大值时，弦锥的横坐标有何规律？

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+1，k1＝2；（2）y＝﹣nx2+（4n﹣2）x+（4﹣3n），k2＝2，k1＝k2；（3），k3＝2，弦锥的横坐标均相等．

【解析】

（1）根据待定系数法求解即可；过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E，如图4，易求出直线AC的解析式，由于点P的横坐标为k1，则其纵坐标和点E的纵坐标可得，于是PE的长可用k1的代数式表示，然后利用可得△PAC的面积关于k1的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可；

（2）先根据待定系数法求出抛物线的解析式，根据点B的位置需分情况讨论：①若n>0，如图4，仿（1）题的思路用k2的代数式表示出PE的长，然后利用可得△PAC的面积关于k2的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可；②若n<0，如图5，仿①的思路可得，进而可用k2的代数式表示出△PAC的面积，再利用二次函数的性质求解即可；进一步即可比较k1与k2的数量关系；

（3）先根据待定系数法求出抛物线的解析式，然后仿（2）题的思路分两种情况可得△PAC的面积关于k3的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可，然后根据前面3个小题的结果即可得出弦锥的横坐标的规律．

解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，

（1）当m＝2，n＝1时，把A（1，2）、B（2，1）、C（3，﹣2）代入，得，解得：，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+1，

∵A（1，2）、C（3，﹣2），∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+4，

∵P（k1，﹣k12+2k1+1），过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E，如图4，则点E（k1，﹣2k1+4），

∴，

∴，

∴当k1＝2时，△PAC的面积最大；

（2）当m＝2，n≠1时，把A（1，2）、B（2，n）、C（3，﹣2）代入，得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣nx2+（4n﹣2）x+（4﹣3n），

①若n>0，∵P（k2，﹣nk22+（4n﹣2）k2+(4﹣3n)），过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E，如图4，则点E（k2，﹣2k2+4），

∴=﹣nk22+（4n﹣2）k2+(4﹣3n)+2k2－4=﹣nk22+4nk2﹣3n，

∴，

∴当k2＝2时，△PAC的面积最大；

②若n<0，如图5，则=﹣2k2+4+nk22－（4n﹣2）k2－(4﹣3n)=nk22－4nk2+3n，

∴，

∴当k2＝2时，△PAC的面积最大；

综上，当k2＝2时，△PAC的面积最大；

∴k1＝k2；

（3）当m≠2，n≠1时，把A（1，2）、B（m，n）、C（3，﹣2）代入，得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为：，

则P（k3，），

①若，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E，如图4，则点E（k3，﹣2k3+4），

∴==，

∴，

∴当k3＝2时，△PAC的面积最大；

②若，如图5，则=，

∴，

∴当k3＝2时，△PAC的面积最大；

综上，当k3＝2时，△PAC的面积最大；

综上所述，过定点A、C，根据B在各种不同位置所得计算结果，可以发现通过两个定点的抛物线系中，以此两点为弦的弦三角的面积取得最大值时，弦锥的横坐标均相等．