【题目】如图,在数轴.上有两个长方形和,这两个长方形的宽都是个单位长度,长方形的长是个单位长度,长方形的长是个单位长度,点在数轴上表示的数是,且两点之间的距离为.
点在数轴上表示的数是 ,点在数轴上表示的数是
若线段的中点为,线段上有一点以每秒个单位长度的速度向右匀速运动,以每秒个单位长度的速度向左运动,设运动的时间为秒,问当为多少时,原点恰为线段的三等分点?
若线段的中点为,线段上有一点,长方形以每秒个单位长度的速度向右匀速运动,长方形保持不动,设运动时间为秒,是否存在一个的值,使以三点为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求的值;不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)或;(3)存在这样的t,t的值为或.
【解析】
(1)根据已知条件得出点H在点E右边个单位处,点A在点E左边个单位处,再根据点E表示的数即可得出答案;
(2)根据条件算出点M、点N表示的数,然后再分OM=2ON和ON=2OM两种情况,根据条件列出含有绝对值的方程求解即可;
(3)分、和三种情况讨论,根据条件建立方程求解即可.
解:(1)∵点在数轴上表示的数是,,
∴,即点H在数轴上表示的数是,
∵,,
∴,
∴,即点A在数轴上表示的数是;
(2)由题意知,线段的中点为,则表示的数为,线段上有一点,且,则表示的数为,
∵以每秒个单位长度的速度向右匀速运动,以每秒个单位长度的速度向左运动,
∴经过秒后,点表示的数为,点表示的数为,
①当时,则有,
解得(经检验,不符合题意,舍去)或,
②当时,则有,
解得(经检验,不符合题意,舍去),
综上所述,当或时,原点恰为线段的三等分点;
(3)根据题意,因为点的位置不确定,所以应分类讨论,有以下三种情况:
①当时,点与点重合,此时;
②当时,,
由题可得,,
,
,
,
,
解得;
③,
综上所述,存在这样的t,t的值为或.
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【题目】党的十八大提出,倡导富强、民主、文明、和谐,倡导自由、平等、公正、法治,倡导爱国、敬业、诚信、友善,积极培育和践行社会主义核心价值观,这24个字是社会主义核心价值观的基本内容.其中:
“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标;
“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向;
“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则.
小光同学将其中的“文明”、“和谐”、“自由”、“平等”的文字分别贴在4张硬纸板上,制成如右图所示的卡片.将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上,从中随机抽取一张卡片,不放回,再随机抽取一张卡片.
(1)小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率是 ;
(2)请你用列表法或画树状图法,帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次
是社会层面价值取向的概率(卡片名称可用字母表示).
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【题目】如图1,△ABC中,点D在线段AB上,点E在线段CB延长线上,且BE=CD,EP∥AC交直线CD于点P,交直线AB于点F,∠ADP=∠ACB.
(1)图1中是否存在与AC相等的线段?若存在,请找出,并加以证明,若不存在,说明理由;
(2)若将“点D在线段AB上,点E在线段CB延长线上”改为“点D在线段BA延长线上,点E在线段BC延长线上”,其他条件不变(如图2).当∠ABC=90°,∠BAC=60°,AB=2时,求线段PE的长.
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【题目】某校数学兴趣小组开展了一次课外活动,过程如下:如图①,正方形ABCD中,AB=4,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点与D点重合.三角板的一边交AB于点P,另一边交BC的延长线于点Q.
(1)求证:AP=CQ;
(2)如图②,小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E,连接PE,他发现PE和QE存在一定的数量关系,请猜测他的结论并予以证明;
(3)在(2)的条件下,若AP=1,求PE的长.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx-3经过(-1,0),(3,0)两点,与y轴交于点C,直线y=kx与抛物线交于A,B两点.
(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式;
(2)当原点O为线段AB的中点时,求k的值及A,B两点的坐标;
(3)是否存在实数k使得△ABC的面积为?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】在推进城乡义务教育均衡发展工作中,我市某区政府通过公开招标的方式为辖区内全部乡镇中学采购了某型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑,其中,A乡镇中学更新学生用电脑110台和教师用笔记本电脑32台,共花费30.5万元;B乡镇中学更新学生电脑55台和教师用笔记本电脑24台,共花费17.65万元.
(1)求该型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑单价分别是多少万元?
(2)经统计,全部乡镇中学需要购进的教师用笔记本电脑台数比购进的学生用电脑台数的少90台,在两种电脑的总费用不超过预算438万元的情况下,至多能购进的学生用电脑和教师用笔记本电脑各多少台?
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【题目】如图,MN是半径为2的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,点B为劣弧AN的中点.点P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为( )
A. 4 B. 2 C. 4 D. 2
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【题目】若抛物线L:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,abc≠0)与直线l都经过y轴上的一点P,且抛物线L的顶点Q在直线l上,则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系.此时,直线l叫做抛物线L的“带线”,抛物线L叫做直线l的“路线”.
(1)若直线y=mx+1与抛物线y=x2﹣2x+n具有“一带一路”关系,求m,n的值;
(2)若某“路线”L的顶点在反比例函数y=的图象上,它的“带线”l的解析式为y=2x﹣4,求此“路线”L的解析式;
(3)当常数k满足≤k≤2时,求抛物线L:y=ax2+(3k2﹣2k+1)x+k的“带线”l与x轴,y轴所围成的三角形面积的取值范围.
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