Question

2．如图，在平面直角坐标系xOy内，?AOBC的顶点A、O、B、C的坐标分别为（0，1）、（0，0）、（1，0）、（1、1），过点B的直线MN与OC平行，AC的延长线交MN于点D，点P是直线MN上的一个动点，CQ∥OP交MN于点Q．
（1）求直线MN的函数解析式；
（2）当点P在x轴的上方时，求证：△OBP≌△CDQ；
猜想：若点P运动到x轴的下方时，△OBP与△CDQ是否依然全等？（不要求写出证明过程）
（3）当四边形OPQC为菱形时，
①请求出点P的坐标；
②请求出∠POC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质可以确定B的坐标，先求出OC的解析式，再由B的坐标就可以求出NM的解析式；
（2）根据平行四边形的性质和平行线的性质就可以判定△OBP≌△CDQ，当点P运动到x轴的下方时，△OBP与△CDQ同理可以判断两三角形全等；
（3）如图3、图4，作OH⊥MN，PG⊥OB于G，根据勾股定理就可以求出P点的纵坐标，从而求出P点的坐标，根据直角三角形的性质就可以求出∠OPE的度数，由平行的性质就可以得出∠POC的度数．当P点在x轴的下方时如图4同理可以得出结论．

解答 解：（1）如图1，∵?AOBC的顶点A、O、B、C的坐标分别为（0，1）、（0，0）、（1，0）、（1、1），
∴OA=OB，
∴四边形AOBC是正方形，
∴AO=BO=BC=AC，AO∥BC，AC∥OB，∠OBC=90°．
∵C的坐标为（1，1），
∴B（1，0），
设OC的解析式为y=kx，由题意，得
1=k，
∴OC的解析式为：y=x．
∵MN∥OC，
∴直线MN的解析式与OC的解析式的k值相等．
设MN的解析式为y=x+b，由题意，得
0=1+b，
∴b=-1，
∴直线MN的解析式为y=x-1；

（2）如图2，∵OC∥MN，OP∥CQ，
∴四边形OPQC是平行四边形，∠OPB=∠CQD，∠OBP=∠CDQ，
∴OP=CQ．
在△OBP和△CDQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBP=∠CDQ}\\{∠OPB=∠CQD}\\{OP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△OBP≌△CDQ（AAS）．
如图，点P运动到x轴的下方时，△OBP≌△CDQ，方法同上．

（3）如图3、图4，作OH⊥MN，PG⊥OB于G，
∴OH=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．BG=PG．
∵OB=BC=1，
∴OC=$\sqrt{2}$．
∵四边形OPQC是菱形，
∴OP=OC=$\sqrt{2}$，
∴OP=2OH，
∴∠OPH=30°．
∵OC∥MN，
∴∠POC=∠OPH=30°．
设PG=BG=x，则OG=1+x，在Rt△OPG中，由勾股定理，得
2=（1+x）²+x²，
解得：x₁=$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$，x₂=$\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$，
∴OG=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
∴P（$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）或（$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$），∠POC=30°或150°．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，平行四边形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，菱形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时运用灵活运用菱形的性质和直角三角形的性质是解答本题的关键．