Question

Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为斜边作等腰直角△ADC，∠ADC=90°，AD=CD，求证：∠DBC=45°．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题

分析：作DE⊥BE，DF⊥AB，易证∠DAF=∠DCE，进而可证△ADF≌△CDE，可得DF=DE，根据角平分线性质即可解题．

解答：解：作DE⊥BE，DF⊥AB，

则∠AFD=∠CED，
∵四边形ABCD中，∠DAF+∠BCD+∠ABC+∠ADC=360°，
∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠DAF+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DAF=∠DCE，
在△ADF和△CDE中，

∠AFD=∠CED ∠DAF=∠DCE AD=CD

，
∴△ADF≌△CDE（AAS），
∴DF=DE，
∴BD是∠ABC的角平分线，
∴∠DBC=45°．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中构建并求证△ADF≌△CDE是解题的关键．