Question

13．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于A，连接BC，BC交⊙O于点D，M是弧$\widehat{BD}$的中点，连接AM交BC于点E．
（1）求证：CA=CE；
（2）当E为BC中点时，求证：EM=$\frac{1}{2}$AE．

Answer 1

分析 （1）连结AD，如图，根据圆周角定理得∠ADB=90°，则∠B+∠BAD=90°，再根据切线的性质得∠1+∠BAD=90°，则∠1=∠B，由M是弧$\widehat{BD}$的中点得∠2=∠3，则利用三角形外角性质易得∠CEA=∠3+∠B=∠2+∠1，即∠CEA=∠CAE，于是根据等腰三角形的判定即可得到CA=CE；
（2）连结OM，OM交BC于F，如图，设⊙O的半径为r，根据圆周角定理，由M是弧$\widehat{BD}$的中点得到OM⊥BD，则AD∥OM，再由E为BC中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得CE=BE=AE，则∠3=∠B，可计算出∠B=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到OF=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$r，AD=$\frac{1}{2}$AB=r，则MF=OM-OF=$\frac{1}{2}$r，然后根据平行线分线段成比例定理，由MF∥AD得$\frac{EM}{AE}$=$\frac{MF}{AD}$=$\frac{1}{2}$，即有EM=$\frac{1}{2}$AE．

解答 证明：（1）连结AD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵AC与⊙O相切于A，
∴∠BAC=90°，即∠1+∠BAD=90°，
∴∠1=∠B，
∵M是弧$\widehat{BD}$的中点，
∴∠2=∠3，
∵∠CEA=∠3+∠B，
∴∠CAE=∠2+∠1，即∠CEA=∠CAE，
∴CA=CE；
（2）连结OM，OM交BC于F，如图，设⊙O的半径为r，
∵M是弧$\widehat{BD}$的中点，
∴OM⊥BD，
而∠ADB=90°，
∴AD∥OM，
∵E为BC中点，
∴CE=BE=AE，
∴∠3=∠B，
∴∠2=∠3=∠B，
∴∠B=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$r，AD=$\frac{1}{2}$AB=r，
∴MF=OM-OF=$\frac{1}{2}$r，
∵MF∥AD，
∴$\frac{EM}{AE}$=$\frac{MF}{AD}$=$\frac{\frac{1}{2}r}{r}$=$\frac{1}{2}$，
∴EM=$\frac{1}{2}$AE．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理和垂径定理．