Question

4．如图，在直角梯形ABCD中AD∥BC．∠ABC=90°DC与以AB为直径的半圆⊙O相切，⊙O的半径为r，在下列结论：①OD⊥OC；②AD+BC=DC； ③S_△AOD+S_△BOC=S_△DOC； ④AD•BC=r²中正确的个数有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 设DC和半圆⊙O相切的切点为E，连接OE，根据切线长定理以及相似三角形的判定和性质逐项分析即可．

解答 解：设DC和半圆⊙O相切的切点为E，连接OE，
∵在直角梯形ABCD中AD∥BC．∠ABC=90°，
∴∠DAB=90°，
∵AB为直径，
∴AD，BC是圆的切线，
∵DC与以AB为直径的半圆⊙O相切，
∴AD=DE，BC=CE，
∴AD+BC=DE+CE=DC，故②正确；
∵∠ADO=∠EDO，
∴∠AOD=∠DOE，
同理：∠BOC=∠EOC，
∴∠DOC=$\frac{1}{2}$（AOE+∠BOE）=90°，
∴OD⊥OC，故①正确；
∵S_△AOD=$\frac{1}{2}$AD•AO，S_△BOC=$\frac{1}{2}$BO•BC，S_△DOC=$\frac{1}{2}$OE•DC，
又∵AO=BO=OE，AD+BC=DC，
∴S_△AOD+S_△BOC=S_△DOC，故③正确；
∵∠A=∠B=90°，∠AOD=∠BCO，
∴△AOD∽△BCO，
∴$\frac{AD}{BO}=\frac{AO}{BC}$，
∴AD•BC=r²，故④正确，
综上可知正确的个数有4个，
故选A．

点评 本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质．解决本题的关键是熟练掌握相似的三角形判定定理、性质定理，做到灵活运用．