Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C，B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．

（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当CM=MN，且∠CMN=90°时，求此时△CMN的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，得 解得： ，

∴抛物线表达式为：y=﹣x2+4x

（2）

解：抛物线对称轴为x=﹣ =2．

∵点C，B关于抛物线的对称轴对称，点B的坐标为（1，3），

∴点C的坐标为（3，3）．

∴BC=2，

∴S△ABC= ×2×3=3

（3）

解：过P点作PD⊥BH交BH于点D．

设点P（m，﹣m2+4m），

根据题意得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，

∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD，即6= ×3×3+ （3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣ （m﹣1）（3+m2﹣4m）．

整理得：3m2﹣15m=0，

解得：m1=0（舍去），m2=5，

∴点P坐标为（5，﹣5）

（4）

解：当CM=MN，且∠CMN=90°时，分情况讨论：

①当点M在x轴上方时，如图2所示：

∵∠CMN=90°，

∴∠BMC+∠NMH=90°．

又∵∠BMC+∠BCM=90°，

∴∠NMH=∠BCM．

在△BCM和△HMN中 ，

∴△CBM≌△MHN．

∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，

∴M（1，2），N（2，0），

由勾股定理得：MC= = ，

∴S△CMN= × × = ．

②当点M在x轴下方时，如图3所示：构造直角三角形Rt△NEM和Rt△MDC

∵∠NMC=90°，

∴∠NME+∠CMD=90°．

∵∠ENM+∠EMN=90°，

∴∠CMD=∠ENM．

在Rt△NEM和Rt△MDC中

∴Rt△NEM≌Rt△MDC．

∴EM=CD=5，MD=ME=2，

由勾股定理得：CM= = ，

∴S△CMN= × × = ；

综上所述：△CMN的面积为： 或

【解析】（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，求得a、b的值，从而得到抛物线的解析式；（2）先求得抛物线对称轴为x=2，由点B的坐标可得到点C的坐标，从而得到BC的长，然后依据三角形的面积公式求解即可（3）过P点作PD⊥BH交BH于点D．设点P（m，﹣m2+4m），则BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，然后依据S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD ， 列出关于m的方程，从而可求得m的值于是可求得点P的坐标；（4）①当点M在x轴上方时，先证明三角形△CBM≌△MHN，从而可求得BC=MH=2，BM=1，于是可得到点M，N的坐标，然后依据勾股定理求得MC的长，最后依据三角形的面积公式求解即可；②如图3所示：当点M在x轴下方时，过点M作平行与x轴的直线，然后分别过点N和点C作x轴的垂线，从而可构造出直角三角形Rt△NEM和Rt△MDC，接下来，再证明Rt△NEM≌Rt△MDC，依据全等三角形的性质可得到EM=CD=5，MD=ME=2，然后依据勾股定理可求得CM的长，最后依据三角形的面积公式求解即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．