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【题目】【阅读发现】如图①,在△ABC中,∠ACB=45°,AD⊥BC于点D,E为AD上一点,且DE=BD,可知AB=CE.

【类比探究】如图②,在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,E是OC上任意一点,AG⊥BE于点G,交BD于点F.判断AF与BE的数量关系,并加以证明.

【推广应用】在图②中,若AB=4,BF=,则△AGE的面积为   

【答案】【阅读发现】理由见解析;【类比探究】AF=BE,理由见解析;【推广应用】

【解析】试题分析:【阅读发现】证明△ACD是等腰直角三角形,得出AD=CD,由SAS证明△ABD≌△CED,即可得出AB=CE;

【类比探究】由AAS证明△ABF≌△BCE,即可得出AF=BE;

【推广应用】由勾股定理求出BD= =4,得出OA=OB=OC=BD=2,求出OF=OB﹣BF=,由勾股定理得出AF= =,由ASA证明△OBE≌△OAF,得出OE=OE=,求出AE=OA+OE=3,证明△AOF∽△AGE,得出对应边成比例求出GE= ,AG= ,即可得出△AGE的面积.

试题解析:【阅读发现】∵AD⊥BC,∠ACB=45°,

∴∠ADB=∠CDE=90°,△ACD是等腰直角三角形,

∴AD=CD,

在△ABD和△CED中,

∴△ABD≌△CED(SAS),

∴AB=CE;

【类比探究】AF=BE;理由如下:

∵正方形ABCD中,AB=BC=AD,∠BAD=90°,∠ABF=∠BCE=45°,AC⊥BD,OA=OB=OC,

∵AG⊥BE,

∴∠FAD+∠AFO=90°,

∵AG⊥BE,

∴∠FAO+∠AEG=90°,

∴∠AFO=∠AEG,

∵∠AFB=∠FAO+90°,

∴∠AFB=∠BEC,

在△ABF和△BCE中,

∴△ABF≌△BCE(AAS),

∴AF=BE;

【推广应用】∵AB=AD=4,∠BAD=90°,

∴BD= =4

∴OA=OB=OC= BD=2

∵BF=

∴OF=OB﹣BF=

∴AF= =

由角的互余性质得:∠OAF=∠OBE,

在△OBE和△OAF中,

∴△OBE≌△OAF(ASA),

∴OE=OE=

∴AE=OA+OE=3

∵∠OAF=∠GAE,∠AOF=∠AGE=90°,

∴△AOF∽△AGE,

,即

解得:GE= ,AG=

∴△AGE的面积=AGGE=××=

故答案为:

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频数

频率

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b

B.一般关注

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0.1

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