【题目】抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A.B,与y轴交于点C,A点坐标为(-1,0),B点坐标为(3,0),顶点为D.
(1)求抛物线解析式;
(2)若点M在抛物线的对称轴上,求△ACM周长的最小值;
(3)以点P为圆心的圆经过A、B两点,且与直线CD相切,求点P的坐标.
【答案】(1)y=x2-2x-3;(2)△ACM周长的最小值为3+
;(3)点P的坐标为(1,4+2
)或(1,4-2
).
【解析】
(1)根据点A,B的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线解析式;
(2)连接BC,交抛物线对称轴于点M,此时AM+CM取得最小值,最小值为BC的长度,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标,根据点B,C的坐标,利用待定系数法即可求出直线BC的解析式,代入x=1即可求出点M的坐标,利用两点间的距离公式可求出BC,AC的长度,进而可得出△ACM周长的最小值;
(3)过点P作PE⊥CD,垂足为点E,则△PDE为等腰直角三角形,进而可得出PE=PD,设点P的坐标为(1,m),由PA=PE可得出关于m的方程,解之即可得出点P的坐标.
(1)将A(-1,0),B(3,0)代入y=x2+bx+c,得:
,解得:
,
∴抛物线解析式为y=x2-2x-3.
(2)连接BC,交抛物线对称轴于点M,此时AM+CM取得最小值,最小值为BC的长度,如图1所示,
当x=0时,y=x2-2x-3=-3,
∴点C的坐标为(0,-3).
设直线BC的解析式为y=kx+a(k≠0),
将B(3,0),C(0,-3)代入y=kx+a,得:
,解得:
,
∴直线BC的解析式为y=x-3.
∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴抛物线的对称轴为直线x=1,顶点D的坐标为(1,-4).
当x=1时,y=x-3=-2,
∴当点M的坐标为(1,-2)时,AM+CM取得最小值,最小值BC==3
.
∵点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,-3),
∴AC==
,
∴△ACM周长的最小值为3+
.
(3)过点P作PE⊥CD,垂足为点E,如图2所示.
∵以点P为圆心的圆经过A、B两点,
∴点P在直线x=1上.
∵点C的坐标为(0,-3),点D的坐标为(1,-4),
∴直线CD的解析式为y=-x-3,
∴∠PDE=45°,
∴△PDE为等腰直角三角形,
∴PE=PD.
设点P的坐标为(1,m).
∵PA=PE,
∴=
(m+4),
整理,得:m2-8m-8=0,
解得:m1=4+2,m2=4-2
,
∴点P的坐标为(1,4+2)或(1,4-2
).
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【题目】随着信息技术的迅猛发展,人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷,要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题:
(1)这次活动共调查了 人;在扇形统计图中,表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ;
(2)将条形统计图补充完整.观察此图,支付方式的“众数”是“ ”;
(3)在一次购物中,小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付,请用画树状图或列表格的方法,求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.
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【题目】如图,⊙O的半径是2,弦AB=,点C为是优弧AB上一个动点,BD⊥BC交直线AC于点D,则△ABD的面积的最大值为___________ .
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【题目】重庆某中学组织七、八、九年级学生参加“直辖20年,点赞新重庆”作文比赛,该校将收到的参赛作文进行分年级统计,绘制了如图1和如图2两幅不完整的统计图,根据图中提供的信息完成以下问题.
(1)扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是 度,并补全条形统计图;
(2)经过评审,全校有4篇作文荣获特等奖,其中有一篇来自七年级,学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上,请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率.
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【题目】抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,P为线段BC上一点,过点P作y轴平行线,交抛物线于点D,当△BDC的面积最大时,求点P的坐标;
(3)如图2,抛物线顶点为E,EF⊥x轴于F点,M(m,0)是x轴上一动点,N是线段EF上一点,若∠MNC=90°,请指出实数m的变化范围,并说明理由.
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【题目】我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形,下列说法正确的是
A. 任意一个四边形的中点四边形是菱形
B. 任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形
C. 对角线相等的四边形的中点四边形是矩形
D. 对角线垂直的四边形的中点四边形是正方形
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【题目】如图,已知直线AB经过⊙O上的点C,且OA=OB,CA=CB.
(1)求证:直线AB是⊙O的切线;
(2)若∠A=30°,AC=6,求⊙O的周长;
(3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积.
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【题目】如图,BD是菱形ABCD的对角线.
(1)请用直尺和圆规作AB的垂直平分线EF,垂足为点E,交AD于点F;(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,连接BF,若∠CBD=75°,求∠DBF的度数.
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