Question

如图，已知反比例函数y=

k

x

的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（m，-2）．
（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；
（2）试根据图象写出不等式

k

x

≥kx的解集；
（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）把点A的坐标代入y=

k

x

和y=kx求出m的值，再运用A的坐标求出k，两函数解析式联立得出B点的坐标．
（2）根据函数图象以及交点坐标即可求得不等式

k

x

≥kx的解集．
（3）讨论当C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形，当C在第三象限时，设C（x，y）（x＜0），根据OA=OC=AC，列出方程组，解方程组得到x+y=-

5

2

，根据y=

2

x

转化成x+

2

x

=-

5

2

，整理成2x²+5x+4=0，根据△=5²-4×2×4=-7＜0，从而判定不存在符合条件的点C．

解答：解：（1）∵反比例函数y=

k

x

的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（m，-2）．
把A（m，-2）代入y=

k

x

得-2=

k

m

，代入y=kx得-2=km，
∴

k

m

=km，
解得m=±1，
∵A在第二象限，
∴m=-1，
∴A（-1，-2）代入y=kx，
∴-2=k×（-1），解得，k=2，
∴正比例函数的解析式为y=2x，
又由2x=

2

x

，解得x=1或x=-1，
∴B（1，2）．
（2）由图象可知不等式

k

x

≥kx的解集x≤-1或0＜x≤1．
（3）①当点C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形，
②如图，当C在第三象限时，要使△OAC为等边三角形，则OA=OC=AC，设C（x，y）（x＜0），

 
∵A（-1，-2），
∴OA=

5

，
∴

x2+y2=5 (x+1)2+(y+2)2=5

，
解得x+y=-

5

2

，
∵点C在反比例函数y=

2

x

图象上，
∴x+

2

x

=-

5

2

，
整理得，2x²+5x+4=0，
∴△=5²-4×2×4=-7＜0，
∴不存在符合条件的点C．

点评：点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法以及数形结合思想的运用是解题的关键．