Question

如图1，点O为直线AB上一点，∠AOC=60°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OP在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O旋转至图2，使一边OP恰好平分∠BOC，求∠BOP的度数；
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，若t秒后∠CON=90°，则t的值为

 

  秒．（直接写出结果）；
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOP与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：角的计算,角平分线的定义

专题：

分析：（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；
（2）由∠AOC=60°，∠CON=90°，可得顺时针旋转60°或240°时满足题意，据此求出t=6或24；
（3）因为∠PON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOP=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，然后求差即可．

解答：解：∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=120°，
又∵OP平分∠BOC，
∴∠BOP=

1

2

∠BOC=60°，
（2）有两种情形：①如图4所示：作OM⊥AB，


∵∠CON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AON=30°，∴∠MON=60°，∴t=60°÷10°=6；
②如图5所示：作OM⊥AB，

∵∠CON=90°，∠AOC=60°，
∴∠NOB=30°，∴∠NOM=120°，
∴（360°-120°）÷10°=24；
因此t=6或24秒
（3）∠AOP-∠NOC=30°．理由如下：
∵∠PON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOP=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，
∴∠AOP-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°，
则∠AOP与∠NOC之间的数量关系是：∠AOP-∠NOC=30°．

点评：此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找出各个量之间的关系，是解决问题的关键．