Question

关于x的方程x²+2（a-1）x+2a+6=0至少有一个正根，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：先求出方程的判别式△=[2（a-1）]²-4（2a+6）=4（a²-4a-5），再分两种情况进行讨论：①方程有两个相等的实数根；②方程有两个不相等的实数根．

解答：解：方程的判别式△=[2（a-1）]²-4（2a+6）=4（a²-4a-5）．
①如果方程有两个相等的实数根，那么△=0，
解得a=-1或a=5，
当a=-1时，方程为x²-4x+4=0，解得x=2符合题意；
当a=5时，方程为x²+8x+16=0，解得x=-4不符合题意；
②如果方程有两个不相等的实数根，那么△＞0，
解得a＜-1或a＞5，
若方程有一个正根，一个负根或一个正根，一个零根，则有2a+6≤0，解得a≤-3；
若方程有两个正根，则

-2(a-1)＞0 2a+6＞0

，解得-3＜a＜1；
所以a＜-1；
综合①②可得a≤-1．
故答案为a≤-1．

点评：本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元一次不等式组的解法，难度适中．利用分类讨论是解题的关键．