Question

抛物线y=ax²-4x+1与x轴的两个交点在直线x=1的两侧，求a．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：根据抛物线与x轴有两个交点得到△=4²-4a＞0，解得a＜4，再分类讨论：当a＞0和a＜0，a的范围；然后解不等式确定满足条件的a的取值范围．

解答：解：根据题意得△=4²-4a＞0，解得a＜4，
∵抛物线y=ax²-4x+1与x轴的两个交点在直线x=1的两侧，
∴设与x轴的两个交点的横坐标为x₁，x₂，
∴（x₁-1）（x₂-1）＜0，
整理得x₁x₂-（x₁+x₂）+1＜0，
∴

1

a

-

4

a

+1＜0，
∴

3

a

＞1，
当a＞0，则a＜3，即0＜a＜3；
当a＜0，则a＞3，无解，
所以m的取值范围为0＜a＜3．

点评：本题考查了二次函数与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系：△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．