Question

如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．
（1）求证：GE=GD；
（2）求∠BGC的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：

分析：（1）连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分线的性质及逆定理可得GN=GM=GF，AG是∠CAB的平分线；在四边形AMGN中，易得∠NGM=180°-60°=120°；在△BCG中，根据三角形内角和定理，可得∠CGB=120°，即∠EGD=120°，∴∠EGN=∠DGM，证明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得证GE=GM；
（2）利用角平分线的定义，结合三角形内角和定理可得出∠GBC+∠GCB，进一步求得∠BGC．

解答：（1）证明：连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．
∵∠A=60°，
∴∠ACB+∠ABC=120°，
∵CD，BE是角平分线，
∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°，
∴∠CGB=∠EGD=120°，
∵G是∠ACB平分线上一点，
∴GN=GF，
同理，GF=GM，
∴GN=GM，
∴AG是∠CAB的平分线，
∴∠GAM=∠GAN=30°，
∴∠NGM=∠NGA+∠AGM=60°+60°=120°，
∴∠EGD=∠NGM=120°，
∴∠EGN=∠DGM，
又∵GN=GM，
在Rt△EGN≌Rt△DGM∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），
∴GE=GD；
（2）解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G，
∴∠GBC+∠GCB=

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=60°，
∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=120°．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质及角平分线的性质，作出辅助线构造三角形全等是解题的关键．