Question

2．学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的价格高30元．买两个篮球和三个足球共需510元．
（1）求篮球和足球的单价；
（2）根据需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球的数量不少于足球数量的$\frac{2}{3}$，用于购买这批篮球和足球的资金不超过10300元，请问有哪几种购买方案？并指出其中费用最低的方案．

Answer 1

分析 （1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据“一个篮球比一个足球的价格高30元．买两个篮球和三个足球共需510元．”即可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设购买篮球m个，则购买足球（100-m）个，根据“篮球的数量不少于足球数量的$\frac{2}{3}$，用于购买这批篮球和足球的资金不超过10300元．”即可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出结论．

解答 解：（1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{x-y=30}\\{2x+3y=510}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=120}\\{y=90}\end{array}\right.$．
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元．
（2）设购买篮球m个，则购买足球（100-m）个，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{m≥\frac{2}{3}（100-m）}\\{120m+90（100-m）≤10300}\end{array}\right.$，
解得：40≤m≤$\frac{130}{3}$，
∵m为整数，
∴m=40，41，42，43．
∴有四种购买方案：方案一：购买篮球40个、足球60个；方案二：购买篮球41个、足球59个；方案三：购买篮球42个、足球58个；方案四：购买篮球43个，足球57个．
∵篮球120元一个，足球90元一个，
∴方案一最省钱，即购买篮球40个、足球60个．

点评 本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据数量关系找出关于m的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出方程组（或不等式组）是关键．