Question

【题目】如图，D是∠MAN内部一点，点B是射线AM上一点，DE⊥AM于E，DF⊥AN于F，且DE=DF，连接AD.

(1)求证：AD平分∠MAN；

(2) 在射线AN上取一点C，使得DC=DB，若AB=6，BE=2，则AC长为____.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）6或10.

【解析】

（1）根据角平分线的性质即可得到结论；

（2）分两种情况：当点C在线段AF上，Rt△DEB≌Rt△DFC，CF=BE；当点C在线段AF的延长线上时，Rt△DEB≌Rt△DFC，可得到CF=BE．

(1)证明：∵D是∠MAN内部一点，DE⊥AM于E，DF⊥AN于F，且DE=DF，

∴AD平分∠MAN (在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上)；

(2)分两种情况：

①如图1,当点C在线段AF上时,

∵DE⊥AM于E，DF⊥AN于F，

∴∠DEB=∠DFC=90°，

在Rt△DEB和Rt△DFC中，

，

∴Rt△DEB≌Rt△DFC，

∴CF=BE=2,

∴AC=AB=6，

②如图2，当点C在线段AF的延长线上时，

同理可证Rt△DEB≌Rt△DFC，

∴CF=BE=2，

∵AF=AE=AB+BE=8，

∴AC=8+2=10.

故答案为：6或10.