Question

【题目】如图，在△ABC中，AC的中点为D，BC的中点为E，F是DE的中点，动点G在边AB上，连接GF，延长GF到点H，使HF=GF，连接HD，HE．

（1）求证：四边形HDGE是平行四边形．
（2）已知∠C=90°，∠A=30°，AB=4．
①当AG为何值时，四边形HDGE是矩形；
②当AG为何值时，四边形HDGE是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵HF=GF，DF=EF，

∴四边形HDGE是平行四边形

（2）

解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=4，

∴AC=ABcom∠A=4× =2 ，BC=4× =2，∠B=60°，

∵AC的中点为D，BC的中点为E，F是DE的中点，

∴BE=1，DE= AB=2，AD=CD= ，DF=EF=1，DE∥AB，

∴∠CBD=∠B=60°，

① 当AG=3或2时，四边形HDGE是矩形，

当AG=3时，如图1，

BG=4﹣3=1，

∴BG=CE，

BG=BE=EG=1=CE，DE=DE，∠CED=∠DEG=60°，

在△DGE和△DCE中， ，

∴△DGE≌△DCE，

∴∠DGE=∠DCE=90°，

∴四边形HDGE是矩形；

当AG=2时，则AG=BG，

∴DG∥CE，EG∥AC，H，C重合，

∴∠DCE=90°，∴四边形HDGE是矩形，如图2；

②过F作MN⊥DE，交AC于M，AB与N，

∵DE∥AB，

∴MN⊥AB，∠MDF=∠A=30°，

∵F是DE的中点，

∴MN是线段DE的垂直平分线，

∴ND=NE，

∵DF=1，MB= ，

∵AD= ，

∴AM= ，

∴AN=AMcom∠A= = ，

当AG=AN= 时，G在DE的中垂线上，DG=GE，四边形HDGE是菱形．

【解析】（1）由平行四边形的判定直接推出；（2）根据直角三角形的性质得到AB=4，求得AC=2 ，BC=4× =2，∠B=60°，根据三角形的中位线得到BE=1，DE=2，AD= ，DF=EF=1，根据平行线的性质得到∠CBD=∠B=60°，①当AG=3或2时，四边形HDGE是矩形．当AG=3时，根据全等三角形的性质得到∠DGE=∠DCE=90°，于是得到四边形HDGE是矩形；当AG=2时，则AG=BG，推出∠DCE=90°，于是得到四边形HDGE是矩形；②过F作MN⊥DE，交AC于M，AB与N，根据全等三角形的性质得到∠MDF=∠A=30°根据线段垂直平分线的性质得到ND=NE，求得AN=AMcom∠A= ，当AG=AN= 时，G在DE的中垂线上，根据菱形的判定即可得到结论．
【考点精析】本题主要考查了两点间的距离的相关知识点，需要掌握同轴两点求距离，大减小数就为之．与轴等距两个点，间距求法亦如此．平面任意两个点，横纵标差先求值．差方相加开平方，距离公式要牢记才能正确解答此题．