Question

13．如图1，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK，KB交MN于O．
（1）若∠1=80°，求∠MKN的度数；
（2）当B与D重合时，画出图形，并求出∠KON的度数；
（3）△MNK的面积能否小于$\frac{1}{2}$？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质可知∠KNM=∠1，由翻折的性质可知：KMN=∠1=80°，最后依据三角形的内角和定理可求得∠MKN的值；
（2）先根据题意画出图形，然后由翻折的性质可知DO=BO．接下来依据AAS证明△DON≌△BOM（AAS），由全等三角形的性质可知DN=BM，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形DMBN是平行四边形，然后根据DM=BM可知平行四边形DMBN是菱形，故此BD⊥MN从而得到∠KON=90°；
（3）过M点作ME⊥DN，垂足为E，先证明KN=KM，然后利用矩形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AM∥DN．
∴∠KNM=∠1．
∵∠1=80°，
∴∠KNM=∠KMN=∠1=80°．
∴∠MKN=20°．
（2）当B与D重合时，如图所示，K、B、D三点重合，连接NB．

∵B、D关于MN对称，
∴DO=BO．
在△DON和△BOM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DNM=∠1}\\{∠NOD=∠MOB}\\{DO=BO}\end{array}\right.$，
∴△DON≌△BOM（AAS）．
∴DN=BM．
∵DC∥AB，
∴四边形DMBN是平行四边形．
∵DM=BM，
∴平行四边形DMBN是菱形．
∴BD⊥MN．
∴∠DON=90°即∠KON=90°．
（3）能．
过M点作ME⊥DN，垂足为E，则ME=AD=1．

∵∠KNM=∠KMN，
∴MK=NK，
又∵MK≥ME，
∴NK≥1．
∴△MNK的面积=$\frac{1}{2}$NK•ME≥$\frac{1}{2}$
∴△MNK的面积不可能小于$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、菱形的判定，证得四边形DMBN是菱形是解题的关键．